Ytterligare problem

Allt som allt finns 50 huvuden och 140 ben hos djuren. Hur många kycklingar och hur många kaniner har Ingemar?

Facit till ’Räkna åt Ingemar!’

Då blir antalet ben som djuren berör marken med lika med 140/2 = 70. Om man med varje ben associerar ett huvud så hör de extra 70 – 50 = 20 benen till kaniner. Alltså hade bonden 20 kaniner och 30 kycklingar.

Facit till ’Bok och kapitel’

Då är a + b + c = 12 (antalet kapitel) samt 25a + 20b + 16c = 223 (antalet sidor). Ur första ekvationen får vi c = 12 – a – b och insättningen i den andra ger 25a + 20b + 16(12 – a – b) = 213, det vill säga 9a + 4b = 31.
För a = 0 får vi 4b = 31 vilket inte är möjligt (då b är ett heltal). Ej heller a = 1 och a = 2 ger b som ett heltal. För a = 3 får vi däremot b = 1 och c = 12 – 3 – 1 = 8. För a större än 3 får vi negativa värden på b, så a = 3 är enda möjliga lösningen.
Boken hade alltså bara ett kapitel med 25 sidor.

Facit till ’Ytterligare problem’

Problem 3

Eftersom uppgiften talar om blandade kreatur så måste alternativet att bara köpa 100 åsnor förkastas. Om betjänten köper a åsnor så kostar de resterande 100 – a djuren 100 – a soldi. Anta att han köper m kameler och n ”buntar” om 20 får. Detta innebär ett inköp av n + 20m djur för 5n + m soldi. Ekvationen blir n + 20m = 5n + m, det vill säga 19m = 4n. Med tanke på att antalet djur inte får överstiga 100 så är den enda lösningen n = 19 och m = 4. Betjänten köpte alltså 19 kameler och 4 · 20 = 80 får (för 95 + 4 = 99 soldi) samt en åsna.

Problem 4

I sin lösning på denna uppgift observerar Fibonacci att man kan köpa fem fåglar för fem mynt: en rapphöna och fyra sparvar. För 15 mynt kan man alltså köpa 15 fåglar: 3 rapphönor och 12 sparvar. Vidare observerar han också att för 3 mynt kan man köpa tre fåglar: en duva och två sparvar. Detta innebär att för 15 mynt kan man köpa 5 duvor och 10 sparvar (alltså 15 fåglar). Tillsammans kan man därför för 30 = 15 + 15 mynt köpa 30 fåglar: 3 rapphönor, 5 duvor och 12 + 10 = 22 sparvar.

Tyvärr så missar Fibonacci ytterligare två lösningar till uppgiften. Man kan observera att fem duvor kostar lika mycket som en rapphöna och fyra sparvar (15 mynt). Om man då ersätter fem duvor med en rapphöna och fyra sparvar så ändras varken priset eller antalet fåglar. Vi får då ytterligare två lösningar: antalet rapphönor, duvor och sparvar lika med 0, 10 och 20 eller 6, 0 och 24 respektive. Det är dock troligt att Fibonacci förkastade dessa alternativ då talet 0 under hans tid fortfarande inte var erkänt som en matematisk storhet.

Dessa lösningar kan man också få genom att betrakta motsvarande ekvationssystem:

a + b + c = 30 (antalet fåglar) samt
3a + 2b + (1/2)c = 30 (kostnaden)

där a, b och c betecknar antalet rapphönor, duvor respektive sparvar. Man löser det precis som Zhang Qiujians uppgift tidigare.

Problem 5

Mahavira gav en något invecklad lösning och indikerar inte att uppgiften har fler än ett svar. En mer elegant och fullständig lösning gav däremot en annan indisk matematiker: Bhaskara. För att kort presentera hans lösning används beteckningarna d för antalet ”buntar” om fem duvor, t för antalet buntar om sju tranor, s för nio svanar och p för tre påfåglar. Detta ger två ekvationer med fyra obekanta:

5d + 7t + 9s + 3p = 100 (antalet fåglar)
3d + 5t + 7s + 9p = 100 (priset).

Om man multiplicerar den första ekvationen ledvist med 3, den andra med 5 och därefter subtraherar uttrycken ledvist får vi ekvationen 4t + 8s + 36p = 200, det vill säga t + 2s = 50 – 9p. Nu ser man att p inte kan vara större än 5. Provar man p lika med 0, 1, 2, 3, och 5 finner man åtta olika lösningar: (d, t, s, p) lika med (0, 10, 2, 4), (1, 8, 3, 4), (2, 6, 4, 4), (3, 4, 5, 4), (4, 2, 6, 4), (5, 0, 7, 4), (11, 3, 1, 5) och (12, 1, 2, 5). De aktuella antalen duvor, tranor, svanar och påfåglar får man nu genom att multiplicera talen d, t, s och p med 5, 7, 9 respektive 3.

Problem 6

Var och en av oss fick 4 euro och 65 cent tillbaka i 42 mynt. Detta kan skrivas som ett ekvationssystem med tre obekanta: a = antalet 1-euro-mynt, b = antalet 10-cent-mynt och c = antalet 1-cent-mynt.

a + b + c = 42 (antalet mynt) samt
100a + 10b + c = 465 (kostnaden i cent)

Subtraherar man ledvis den första ekvationen från den andra får man 99a + 9b = 423, vilket, efter division med 9 blir 11a + b = 47. Det är uppenbart att a som mest kan vara 4. För a = 4 får vi b = 3 och då ger den första ekvationen c = 35. För a = 3 får vi b = 14 och c = 25. För a = 2 är b = 25 och c = 15. Om a = 1 så är b = 36 och c = 5. Slutligen om a = 0 så är b = 47 och dessa värden ger i den första ekvationen ingen lösning på c. Det finns alltså bara fyra olika lösningar till ekvationssystemet vilket medför att sällskapet bestod av fyra personer.

Problem 7

Om en derpon har k huvuden så har en vencer 2k huvuden. Det totala antal huvuden måste därför vara delbart med k. Eftersom 23 är ett primtal (det delas endast av 1 och 23) så är k = 1. Derponer har därför ett huvud var och vencerer har två.

Låt nu n beteckna antalet derponer, m antalet vencerer och y antalet ben hos en vencer. Då är n + 2m = 23 (antalet huvuden) samt 3n + ym = 134 (antalet ben). Den första ekvationen multiplicerad med 3 ger 3n + 6m = 69. Subtraherar vi det från den andra ekvationen blir resultatet (y – 6)m = 65. Men 65 = 5 · 13 och eftersom m inte kan vara större än 11 (elva vencerer ger redan 22 huvuden) men är större än 1 (jag såg några vencerer) så måste m vara lika med 5. Detta ger y – 6 = 13. Jag såg alltså 13 derponer och 5 vencerer och vencerer har 19 ben var.

Problem 8

Om vi med x, y och z betecknar antalet personer med lönen 5, 3,75 respektive 7,35 pund per timme så kan uppgiftens förutsättningar beskrivas i två ekvationer:

500x + 375y + 135z = 33 360/t, samt
x + y + z = 9, där t är antalet timmar i en skift.

Uppgiften frågar efter möjliga värden på t. Efter division med 5 kan den första ekvationen reduceras till 100x + 75y + 27z = 6 672/t. I denna ekvation blir det vänstra ledet minst om x = y = 0 samt z = 9 och störst om x = 9 samt y = z = 0. Därför får vi olikheter 27 · 9 ? 100x + 75y + 27z ? 100 · 9, det vill säga 27 · 9 ? 6 672/t ? 100 · 9. Detta medför att 6 672/243 ? t ? 6 672/900. Eftersom t är ett heltal så får vi att 8 ? t ? 27.

Samtidigt är 6 672 = 24 · 3 · 139 och eftersom t är en delare till 6 672 så måste t vara lika med 8 = 23, eller 12 = 22 · 3, eller 16 = 24, eller 24 = 23 · 3.

Ekvationen 100x + 75y + 27z = 6 672/t kan skrivas om som 73x + 48y + 27(x + y + z) = 6 672/t, och eftersom x + y + z = 9 så är 73x + 48y = 6 672/t – 243. Nu kan vi undersöka vart och ett av de fyra möjliga värden på t.

För t = 8 reduceras ekvationen till 73x + 48y = 591. Talet x kan uppenbarligen inte vara större än 8 (vänsterledet blir annars för stort), måste vara udda (annars är vänsterledet jämnt) och måste vara delbart med 3 (för 48 och 591 är delbara med 3 medan 73 inte är det). Då finns det bara en enda möjlighet: x = 3. För detta x får vi 48y = 372, vilket saknar någon heltalslösning. Alternativet t = 8 kan vi därför förkasta.

För t = 12 får vi ekvationen till 73x + 48y = 313. Återigen kan vi konstatera att x inte kan vara större än 4, måste vara udda och inte delbart med 3 (annars är vänstra ledet delbart med 3 medan 313 inte är det). Detta medför att x = 1. Då är 48y = 240, alltså y = 5. Detta ger oss alltså en lösning till uppgiften: t = 12.

Likadan resonemang tillämpat för t = 16 och t = 24 visar att man i båda dessa fall saknar heltalslösningar x, y och z. Uppgiften har därför en enda lösning, t = 12.