Annons
Bild: 
Istock

En fråga om avvägning

Författare: 

A) Vilket är det minsta antal vikter man behöver välja bland vikterna 1 g, 2 g, 3 g, osv. för att kunna väga alla tyngder från 1 till 31 gram? Vågen är en balansvåg och tyngderna får endast läggas i den ena skålen.

B) Vilket är det minsta antal vikter man behöver välja bland vikterna 1 g, 2 g, 3 g, osv. för att kunna väga alla tyngder från 1 till 40 gram? Samma balansvåg, men denna gång får tyngderna läggas i båda skålarna.

Facit

A Med vikterna 1 g och 2 g kan man väga tyngder upp till 3 g. Lägger vi till vikten 4 g klarar vi alla tyngder med upp till 7 g (t.ex. 5 = 4 + 1, 6 = 4 + 2 och 7 = 4 + 2 + 1). Med vikten 8 g klarar man upp till 15 g. Lägger vi till vikten 16 g klarar vi tyngder upp till 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 g. Det behövs alltså 5 vikter: 1 g, 2 g, 4 g, 8 g och 16 g.

B Om vikterna får läggas i båda skålarna så kan man vara betydligt mera effektiv. Det räcker med fyra olika vikter för att kunna väga alla tyngder upp till 40 g.

Om föremålet väger 1 g så måste man ha vikten 1 g. För tyngden 2 g behövs antingen en vikt på 2 g eller en på 3 g (föremålet och vikten 1 g på ena sidan av vågen, vikten 3 g på andra, vilket kan skrivas som 2 = 3 – 1). Vi väljer en vikt på 3 g eftersom man med vikterna 1 g och 2 g bara kan väga föremål upp till 3 g (1, 2, 1 + 2). Med 1 och 3 g kan man väga föremål upp till 4 g (1, 3 – 1, 3, 3 + 1). Nästa vikt som behövs är 9 g och då kan vi väga alla föremål upp till 13 g (9 – 3 – 1, 9 – 3, 9 + 1 – 3, 9 – 1, 9, 9 + 1, 9 + 3 – 1, 9 + 3 och 9 + 3 + 1). Slutligen behöver man endast en vikt till, på 27 g. Med dessa fyra vikter klarar vi alla tyngder upp till 40 g.