Annons

Frossa i byn

I en by bor nio familjer i var sitt hus. Alla älskar pepparkakor och under Luciafirandet sätter de i sig en hel del. Märkligt nog visar det sig att varje familj äter exakt 70 pepparkakor mindre än alla deras närmsta grannar tillsammans. Närmsta grannar är hus som har en stig mellan sig (till exempel har huset i mitten 4 närmsta grannar). Hur många pepparkakor äts totalt i byn under Lucia?

Facit

Vi betecknar antalet pepparkakor som åts upp i de fyra husen som ligger mitt på sidorna med A, B, C respektive D. Då kan vi uttrycka hur många pepparkakor som åts i vart och ett av de andra husen, enligt bild 1.

Vart och ett av husen A, B, C och D åt 70 pepparkakor mindre än de närmsta grannarna, det vill säga: A = (A+B-70) + (A+B+C+D-70) + (D+A-70) – 70, vilket kan sammanfattas som: A = 3A+2B+C+2D – 280.

Likadant blir det för de andra sidohusen: B = 3B+2C+D+2A – 280, C = 3C+2D+A+2B – 280, D = 3D+2A+B+2C – 280.

Lägger man ihop de fyra ekvationerna får man likheten:

A+B+C+D = (3+2+1+2)*(A+B+C+D) - 280*4, det vill säga A+B+C+D = 8*(A+B+C+D) - 280*4. Det ger att 7*(A+B+C+D) = 280*4, så att A+B+C+D = 40*4 = 160. Antalet pepparkakor i mittenhuset är därmed 90.

Vi kan nu göra om den första ekvationen, A = 3A+2B+C+2D - 280, till:

A = 2*(A+B+C+D)+A-C-280 vilket ger C+280 = 2*(A+B+C+D) = 320. Då blir C = 320-280 = 40. Av de andra ekvationerna följer likadant att D = 40, A = 40 och B = 40.

Då kan vi räkna ut att antalet uppätna pepparkakor i varje hörnhus är lika med 40+40-70 = 10. Totalt i byn äts därmed, enligt bild 2, mittenhusets 90 + kanthusens 4*40 + hörnhusens 4*10 = 290 pepparkakor.