Hjärnbruksfacit

HjärnbruksfacitTalet är 999, det största tal som kan skrivas med tre siffror. Notera att 999=9(99) och det är inte detsamma som (99)9, för det senare är ett rätt behändigt tal med bara 78 siffror. Talet (99)9 kan vi också lätt få fram i miniräknaren genom att slå 9 nxy 9 nxy 9. Sifferfönstret visar något i stil med 1,96627E+77, vilket ska läsas ungefär 1,96627 5 1077.För att räkna ut det gigantiska talet 999 duger dock ingen miniräknare, inte heller för att direkt se hur många siffror det består av. Vi måste ta till några knep.Om vi kallar det gigantiska talet för A kan vi också skriva det som: A = a0a1a2 … akDen första siffran är alltså a0 och den sista ak och k+1 är antalet siffror i A. När miniräknaren skrev att (99)9 var ungefär 1,96627 5 1077 utnyttjade den formeln:A = B 5 10k, där B = a0, a1a2 … akOm 10z = x och vi vet vad a är men inte z, kan vi använda logaritmer med basen tio. Man skriver z = lg x.Logaritmerar vi A = B 5 10k så får vi lg A = lg (B 5 10k). Logaritmer har en egenskap som gör att multiplikation övergår i addition, dvs lg (A 5 B) = lg A + lg B.lg (B 5 10k) = lg B + lg 10k = lg B + k.Eftersom talet B är minst lika med 1 men samtidigt är mindre än 10 så är lg B minst lika med 0 och mindre än 1. Följaktligen är k = lg A < k+1.Om vi då i talet lg A bortser från siffror som kommer efter kommatecknet så får vi talet k, alltså talet som är 1 mindre än antalet siffror i A. Vi ska alltså försöka beräkna lg 999. Men det hjälper inte så mycket. Liksom A är även lg A ett så gigantiskt tal att ingen miniräknare klarar det. Det behövs ytterligare omskrivning:99 = (32) 9 = 3259 = 31+17 = 3 5 317= 3 5 129 140 163.Logaritmer har också en egenskap som säger att lg ak = k 5 lg a. Det betyder att: lg 999 = lg 935129 140 163 = = lg (93)129 140 163 = 129 140 163 5 lg (93) == 129 140 163 5 lg 729 = 129 140 163 5 lg 729.Nu har vi kommit ner i ett tal som en miniräknare kan ge ett mycket bra svar på:lg 729 ˜ 2,862 727 528 34Vilket mer exakt betyder att 2,862 727 528 3 < lg 729 < 2,862 727 528 4.Multiplicerar vi hela uttrycket med 129 140 163 får man369 693 099,62 < 129 140 163 5 lg 729 < 369 693 099,65 d v s lg 999 = 369 693 099,6...Bortser vi från siffrorna efter kommatecknet och ökar talet med 1 så får vi antalet siffror i 999, vilket alltså är 369 693 100 stycken. Med hjälp av kraftiga datorer har man på senare tiden beräknat flera tusen inledande och flera tusen avslutande siffror i detta enormt stora tal. De tio första siffrorna är 4 281 247 731... och de tio avslutande är ...2 627 177 289.hjärnbruksfacit 21 Samuel Morse - telegrafen2 Alexander Fleming - penicillinet3 Marie Curie - radioaktiviteten4 Alexander Graham Bell - telefonen5 Ada Lovelace - programmeringKonstruktör: Lars Kumlin