Hur väger Cissi balkarna?
Byggjobbarna Axel, Cissi och Mohammed pustar ut i en fikapaus.
De har tillsammans med kranföraren Karin just lyft upp nio armerade betongbalkar till femtonde våningen i höghusbygget.
Då ringer Mohammeds mobil. Det är lagbasen nere på marken som är mycket upprörd: ”Tillverkaren har missat att armera en av balkarna, och ni måste hitta den och skicka ner den igen.”
Alla balkarna ser likadana ut, men Axel, Cissi och Mohammed blir snabbt överens om att den felande balken måste vara många kilo lättare än de övriga. Balkarna är dock för tunga för att man ska orka lyfta dem för hand och känna vilken som är väger mindre. Karin i kranen, som har avlyssnat samtalet på en walkie-talkie, hör av sig: ”Med hjälp av en vågrät järnbalk kan vi använda kranen som balansvåg och väga betongbalkarna mot varandra tills vi hittar den som är lättare. Det kan bli många vägningar, men det kommer att fungera.”
Alla börjar förbereda sig för ett stort antal parvisa lyft utom Cissi som står kvar med inåtvänd blick. Efter en halv minut säger hon: ”Det räcker med två vägningar för att avgöra vilken av de nio balkarna som är lättare än de övriga.”
”Omöjligt”, utropar Axel spontant.
Men Mohammed kliar sig på hakan och säger efter några sekunder: ”Jag förstår hur du menar, Cissi. Smart!”
Axel, som nu är litet purken för att han inte fattar galoppen, vill sätta Cissi på det hala och frågar: ”Men om det hade varit fler än nio balkar, hur hade du gjort då?”
”Får jag tänka på det tills vi hittat den lätta balken?” säger Cissi. Och när man lyckats identifiera den med enbart två lyft, precis som utlovat, säger hon:
”Fler än nio hade vi inte klarat på två vägningar, men med tre vägningar skulle vi bland 27 balkar kunna plocka ut den balk som är lättare än de övriga.”
Axel blir svarslös, och det blir en obehaglig tystnad. Mohammed försöker rädda situationen: ”Om du inte hade vetat om den felaktiga balken är lättare eller tyngre, hur hade du gjort då då?”
Nu är det Cissis tur att bli svaret skyldig. Men efter lunchrasten – som hon tillbringat i ensamhet med matlåda, penna och papper – kommer hon tillbaka och deklarerar:
”Det räcker faktiskt med tre vägningar för att vi bland tolv balkar ska kunna peka ut vilken som har avvikande vikt, och vi kan då också säga om den är lättare eller tyngre.”Axel ler nu brett och sträcker fram handen: ”OK, du vinner. Men du får verkligen förklara hur det hela skulle gå till.”
Hur kan Cissi
- på två vägningar bland nio balkar peka ut en lättare balk?
- på tre vägningar bland 27 balkar peka ut en lättare balk?
- på tre vägningar bland tolv balkar peka ut en balk som har avvikande vikt och då även ange om den är tyngre eller lättare?
Facit till ’Hur väger Cissi…’
Om balansvågen inte väger jämnt, är den lättare balken den sökta balken. Om balansvågen däremot väger jämnt, vet vi att den lätta balken är den som inte deltog i vägningen. Alltså räcker det att väga en gång för att hitta en lättare balk av 3 möjliga. (Det går lika bra att hitta en balk som är tyngre än de övriga två, bara vi vet att det är en tyngre balk vi letar efter.)
Om vi som i ursprungsproblemet har 9 balkar, väger vi först 3 godtyckligt valda balkar mot 3 andra, också godtyckligt valda. Denna vägning kommer att resultera i att vi kan peka ut en grupp på 3 balkar där sökta balken finns. Antingen utgörs denna grupp av de 3 balkar som väger lättare eller, om vägningen inte ger utslag, av de 3 balkar som inte deltar. Därefter hittar vi den sökta balken enligt ovan beskrivna metod.
I fallet med 27 balkar väger vi 9 godtyckligt valda balkar mot 9 andra godtyckligt valda, vilket ger oss en grupp på 9 misstänkta balkar varvid vi är tillbaka i ursprungsproblemet.
Vi har upptäckt mönstret: 3 balkar – 1 vägning räcker för att hitta en lättare balk; 9 (3 x 3) balkar – 2 vägningar; 27 (3 x 3 x 3) balkar – 3 vägningar, 81 (3 x 3 x 3 x 3) balkar – 4 vägningar (förutsatt att kranen klarar att lyfta en metallbalk med 27 cementbalkar i varje ände, vilket väl inte är så säkert), osv.
I fallet med 12 balkar varav en är lättare eller tyngre, måste vi lägga upp vägningarna annorlunda. Vi numrerar först alla balkarna från 1 till 12 och väger dem sedan enligt schemat ovan.
Om de tre vägningarna ger det resultat som anges i översta raden (V, V, V), betyder det att en balk som i alla tre vägningarna hängde till vänster är tyngre än övriga balkar. Endast balk nr 1 uppfyller detta, och detta är alltså den avvikande balken och avvikelsen består i att den är tyngre.
Om vägningarna i stället ger exempelvis mönstret H, H, L (fjärde raden), innebär det att det vid vägning 1 och 2 fanns en balk i vänster vågskål som är lättare än de övriga och att denna balk inte finns med i vägning 3: alltså att balk 2 är den avvikande och att den är lättare. Att det vid de två första vägningarna vid resultatmönstret H, H, L inte kan finnas en balk i höger vågskål som är tyngre framgår av att ingen balk fanns med båda gångerna i höger vågskål vid de två första vägningarna.
På detta sätt kan man för alla tänkbara resultat (där L, L, L inte är ett möjligt mönster) resonera sig fram till vilken av de 12 balkarna som avviker och om avvikelsen är att balken är tyngre eller lättare.
