Kommer tant Borghild någonsin fram?

1. Svaret är nej. Dragfordonen kan inte förhindra att tant Borghild tar sig fram till valfritt dragfordon. Men det kommer att ta synnerligen lång tid. Låt oss antaga att tant Borghild har maxhastigheten 2 km/h och att dragfordonen har maxhastigheterna 300 km/h respektive 200 km/h. Det ogynnsammaste läget för Borghild är att starta vid den ena änden av mattan och försöka ta sig till den andra. Om hon inte har några referenspunkter i omgivningen tycks då målfordonet avlägsna sig med 200+300=500 km/h.

För att övertyga oss om att Borghild verkligen kommer fram delar vi upp den 10 meter långa mattan i ett antal lika stora dellängder och sätter upp en flagga vid varje gräns. Vi väljer antalet dellängder enligt förhållandet mellan hastigheterna plus 1, dvs 500/2+1=251. Oavsett vid vilken flagga som Borghild befinner sig kommer hon, stode hon stilla, att se den närmaste flaggan avlägsna sig med hastigheten 500/251≈1,99 km/h. Mattan är ju likformigt elastiskt. Borghild rör sig alltså något snabbare, 2 km/h, vilket innebär att hon förr eller senare kommer fram till den närmaste flaggan. Sedan gäller samma resonemang när hon ska ta sig till nästa flagga, och till nästa och nästa. Eftersom avståndet mellan flaggorna hela tiden ökar, kommer det dock att ta längre tid mellan varje par av flaggor. Men eftersom antalet flaggor är ändligt så kommer hon till slut fram till dragfordonet.

Genom att lösa en differentialekvation kan man räkna ut hur lång tid tant Borghilds promenad tar: mattlängd/v_Dragfordon*(e^{vDragfordon/vBorghild}–1) = 0,01/500*(e^500/2s–1)≈7,5*10¹⁰³ timmar. Vårt planetsystem har existerat i storleksordningen 10¹⁵ timmar och har kanske lika långt kvar innan solen förgås, så om tant Borghild inte ska bli kall är det bäst att solen skaffar sig ett liv som är lika evigt som hennes.

2. Svaret är nej. Dragfordonen kan inte förhindra att någon del av mattan alltid kommer att befinna sig över samma punkt som vid starten.

För att inse det har vi före start lagt ut en 10 meter lång måttstock på marken och klistrat ett motsvarande 10-meters elastiskt måttband på mattan. Om vi sedan vid vilket ögonblick som helst stoppar förloppet, kommer vi att vid måttstockens 0-markering avläsa ett värde som är större än 0 på den elastiska mattan. Vi följer sedan måttstocken till 10-metersmarkeringen, där vi kommer att avläsa ett värde på den elastiska mattan som är mindre än 10 meter. Eftersom den elastiska mattans mått från att ha startat med ett mått större än måttstockens slutar med ett mått som är mindre än måttstockens, kan vi dra slutsatsen att måtten någonstans måste vara identiska. Denna punkt på mattan är alltså kvar över den punkt på marken där den startade. Under sin långa vandring har Borghild namnsdag den 28 maj varje år, vilket kan vara en liten tröst. I Sverige finns för övrigt 607 kvinnor som heter Borghild, varav 233 har det som tilltalsnamn/förstanamn.