Oändligheten och lite till

Under de tidiga tonåren hände det rätt ofta att jag, när jag måste släcka lampan för att sova, tröstade mig med tanken att ”nu ska jag tänka på oändligheten”. Jag föreställde mig en resa ut i rymden, bort genom planetsystemet, ut ur Vintergatan och innan jag fått svaret på var man ”till slut” hamnar så hade jag somnat. Oändligheten var alltså något som hade med utsträckning i rummet att göra, en fråga om universums storlek. Jag tog det säkert för givet att det inte plötsligt skulle dyka upp en vägg, ett ogenomträngligt hinder, världens slut.

Kanske resonerade jag som den romerske filosofen Lucretius, som i sin lärodikt De Rerum Natura (Om tingens natur) från första århundradet f.Kr. talade för ett universum utan ände. Han föreställde sig ett spjut som slungas ut i rymden och som kommer att fortsätta på sin bana för alltid – dyker ett hinder upp måste det ju vara något på andra sidan, det kunde ju inte vara ”intet”, inte ens tomrum utan … ja, hur ska det beskrivas? Här har vi ett av problemen med oändligheten, i alla fall den rumsliga: vi kan inte föreställa oss den ”i sin helhet”, och vi kan inte heller föreställa oss dess motsats.

Alltid större men aldrig störst

Nu bör det sägas att Lucretius åsikt om rymdens utsträckning inte var den dominerande under antiken – inte under medeltid och tidig modern tid heller. Det var den grekiske filosofen Aristoteles idé om ett ändligt, sfäriskt kosmos med jorden i centrum som var den förhärskande. För Aristoteles, verksam på 300-talet f.Kr., fanns det utanför denna kosmiska sfär ”varken tid eller plats”.

Det var också Aristoteles som låg bakom en i detta sammanhang viktig uppdelning mellan det potentiellt och det faktiskt oändliga. Ta till exempel de positiva hela talen 1, 2, 3, 4, … Aristoteles var naturligtvis lika medveten som vi alla om att man kan fortsätta denna svit hur långt som helst – det finns inget största tal, eftersom vi ju till ett visst givet tal alltid kan lägga till 1 och få ett större. Detta betyder att de positiva heltalen potentiellt är oändligt många. Aristoteles tycks samtidigt mena att vi inte kan föreställa oss talsviten som något helt och avslutat, som en faktisk oändlighet.

Det finns en intressant språklig sida av saken: ett och samma påstående kan ibland formuleras både med och utan det besvärliga men fantasieggande ordet ”oändligheten”. Ta till exempel påståendet att det finns oändligt många primtal, det vill säga tal större än 1 som inte kan skrivas som en produkt av två mindre heltal (de första primtalen är alltså 2, 3, 5, 7, 11). För att bevisa detta hänvisar man ofta till ett resonemang som går tillbaka till den grekiske matematikern Euklides (ca 300 f.Kr.), men vad han visar är i själva verket att om vi har ett antal primtal så kan vi alltid hitta ytterligare ett. Det är alltså onödigt att över huvud taget nämna oändligheten här.

Än tydligare är detta med ”det oändligt lilla” som användes flitigt under 1600- och 1700-talen. En cirkel kunde då beskrivas som ett oändligt antal oändligt korta räta linjer. Med begreppet gränsvärde försvann dock det oändligt lilla under 1800-talets senare del.

Det hela lika oändligt som delen

Åter till det oändligt stora. Aristoteles hävdade alltså att det inte finns oändligt stora tal. Ett argument mot sådana tal bygger på ett axiom hos Euklides: ”Det hela är större än delen”, vilket ju låter rimligt. Om vi tar en sträcka AB som är halva sträckan AC, så är den förra uppenbarligen en del av den senare. Anta att vi kan beskriva antalet punkter på en sträcka med hjälp av ett (nödvändigtvis oändligt) tal. Ur Euklides axiom följer att vi får två olika oändligt stora tal – delen AB bör ju ha ett mindre antal punkter än AC. Samtidigt är det lätt att se att vi kan para ihop punkterna i AC med dem i AB, en och en så att inga blir över.

Och är det inte precis denna tänkta hopparning vi menar när vi säger att det finns lika många punkter i de båda sträckorna? I vanliga fall om vi kan para ihop antalet vinglas med antalet gäster, ett och ett så att inga blir över, så är vi nöjda, antalet glas stämmer precis med antalet gäster. Antalet punkter i de båda sträckorna bör alltså vara både lika och olika, och det enklaste sättet att undvika denna paradox är att helt enkelt underkänna all diskussion om oändligt stora tal.

Guds oändliga allsmäktighet

Diskussioner som denna fördes bland filosoferna på medeltiden, och här färgades ofta tankarna av att det fanns en teologisk bakgrund. Som att koppla ihop frågan om världens storlek med Guds allmakt: en allsmäktig Gud skulle naturligtvis kunna skapa ett oändligt universum. Denna koppling mellan teologi och det oändliga – även i rent matematisk mening – fanns kvar när det moderna genombrottet skedde under 1800-talets senare hälft.

I sin bok Samtal och matematiska bevis om två nya vetenskaper från 1638 diskuterar den italienske naturforskaren Galileo Galilei olika stora oändligheter. I ett resonemang liknande det om sträckorna ovan låter han aristotelikern Simplicio säga: ”Detta att tillskriva en oändlig storhet ett värde större än oändligheten ligger bortom mitt förnuft.”

Galileos talesman Salviati inleder sitt svar med: ”Detta är en av de svårigheter som uppstår när vi med vårt ändliga förnuft försöker diskutera det oändliga och tillskriva det egenskaper som vi ger det ändliga och begränsade. Men detta anser jag vara felaktigt, eftersom vi inte kan jämföra oändliga storheter med avseende på storlek.” Sedan klargör Salviati situationen genom ett resonemang rörande heltalen. Han betraktar å ena sidan de positiva heltalen 1, 2, 3, 4, … och å andra sidan följden av deras kvadrater 1, 4, 9, 16, … och påpekar att de senare ju är mycket färre än de förra. Andelen kvadrattal minskar ju fler tal vi tar: ”Upp till 100 har vi 10 kvadrattal, alltså en tiondel, men upp till 1miljon utgör de bara en tusendel”, säger Salviati.

Samtidigt kan vi para ihop talen i de båda följderna ett och ett så att inga blir över:

1 2 3 4 5 … n
1 4 9 16 25 … n²

Alltså: ”Om vi tar ett oändligt antal, förutsatt att vi kan föreställa oss något sådant, måste vi medge att det finns lika många kvadrattal som heltal”, medan andelen kvadrattal bland alla talen minskar ju fler tal vi tar, menar Salviati.

Motviljan mot det oändliga var seglivad. ”Jag måste protestera på det bestämdaste mot din användning av det oändliga som något fullbordat, eftersom detta ej är tillåtet inom matematiken. Det oändliga är bara ett talesätt”, yttrade tysken Carl Friedrich Gauss (1777-1855), en av alla tiders största matematiker.

Matematiken skapas av människan

Matematiken kom dock att utvecklas starkt under 1800-talet. En mängd nya områden skapades samtidigt som matematiken blev mycket mer abstrakt, och härtill bidrog förresten inte minst Gauss själv. Tidigare hade man ansett att matematiken stod i intim kontakt med den verklighet som vi erfar med våra sinnen, och den ansågs inte kunna innehålla motsägelser, för verkligheten gör det ju inte. Men i vilken mening existerar tal, cirklar och andra matematiska objekt? Tidigare kunde man hävda att de uppstår via abstraktion från verkligheten, men under 1800-talet växte successivt ett annat synsätt fram, nämligen att matematiken skapas av den mänskliga tanken.

Detta påverkade även diskussionen om oändlighetsbegreppet. Den som mer än någon annan har förknippats med det oändligt stora är den tyske matematikern Georg Cantor (1845-1918). Han utgår från Galileos sätt att para ihop två uppsättningar – eller med Cantors terminologi mängder – och säger att de har samma mäktighet om deras objekt kan paras ihop ett och ett så att inga blir över. Det är då naturligt att säga att mängderna innehåller samma antal objekt.

Men Cantor utvidgar antalsbegreppet till att gälla även mängder med oändligt många element. Vi får då leva med konsekvensen att en mängd som den med alla positiva heltal i Galileos exempel har samma mäktighet som mängden av kvadrattalen, trots att de kanske ter sig olika stora. Denna möjlighet är i själva verket precis vad som karakteriserar oändliga mängder.

Att räkna oändligheten

Lite mer terminologi: en mängd vars element kan paras ihop med de positiva heltalen sägs vara uppräknelig, och antalet objekt i den är alef-noll (0). Det är den minsta oändligheten – alef är den första bokstaven i det hebreiska alfabetet. Cantor förklarar inte varför han valde just denna beteckning, men det kan ju ha varit så att han helt enkelt var trött på de grekiska bokstäverna och ville ha något mer slagkraftigt. Ett annat skäl skulle kunna finnas i kopplingen mellan hebreiskan och Gamla testamentet. Cantor var nämligen inte bara intresserad av oändlighetens matematiska aspekter; han engagerade sig också i den teologiska sidan av saken. Han korresponderade med katolska teologer och även med dåvarande påven Leo XIII. Syftet tycks ha varit att hjälpa kyrkan handskas med oändligheten på ett korrekt sätt.

Nästa steg är att undersöka bråktalen (eller de rationella talen) som synbarligen är många fler än heltalen – mellan 0 och 1 hittar vi oändligt många bråktal som 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… Och dock, Cantor kunde visa att även dessa kan paras ihop med de positiva heltalen och alltså går att räkna upp.

Finns det då mängder som innehåller så många tal att de positiva heltalen inte räcker till för att räkna upp dem? Cantor besvarade den frågan på två olika sätt, vilket ledde till ett av de mest omskrivna problemen inom den moderna matematiken: den så kallade kontinuumhypotesen.

De reella talen är ännu fler

Till att börja med kan vi undersöka mäktigheten hos de reella talen, sådana som kan uttryckas som decimalbråk. Geometriskt beskrivs de som alla punkter på en oändlig linje, och Cantor lyckades bevisa att de är fler än heltalen. Det finns alltså olika stora oändliga tal.

För bevis räcker det att visa att de reella talen mellan 0 och 1 inte kan räknas upp, att oavsett hur vi räknar dem finns det alltid ett tal som inte fanns med från början:

Ta till exempel en lista (den kan bestå av godtyckliga decimaltal mellan 0 och 1) och numrera talen:

1. 0,23456789…
2. 0,57948231…
3. 0,463214616…
4. 0,846216388…
5. 0,562174632…

och skapa ett decimaltal av de gröna siffrorna (vars plats efter kommatecknet stämmer med ordningsnumret):

0,27327…

samt höj varje decimalsiffra med 1 och skapa på så sätt ett nytt decimaltal:

0,38438…

Det sista decimaltalet kan omöjligen ha funnits med på listan från början. Till exempel kan det inte vara lika med tal nummer 136 i listan eftersom det skiljer sig från detta i den 136:e decimalen.

På detta sätt har vi således fått ett sätt att komma bortom alef-noll och också bortom Salviati: man kan verkligen jämföra oändligheter med avseende på storlek.

Cantor har skapat flera oändligheter som är större än den oändliga mängden heltal. Länge brottades han med frågan om dessa större oändligheter är lika eller olika stora. Ännu vet ingen svaret.

Hamnade i en olöslig paradox

Om vi startar med talet 1 kan vi erhålla samtliga ändliga tal genom att gång på gång lägga till 1. Men Cantor inför ett ytterligare sätt att fortsätta: att givet en viss talmängd, bilda det minsta tal större än alla tal i denna talmängd. Om talmängden består av talen 1,2,3, … 12 så ger det nya sättet endast nästa tal, nämligen 13. Men om talmängden är mängden av alla positiva heltal, så får vi något nytt – det minsta tal större än alla heltal och som av Cantor betecknats med (den gemena grekiska bokstaven omega). Därefter kommer +1, +2, +3, … ända tills vi på nytt måste ta ett språng och bildar +. Och så fortsätter det.

När det gäller frågan om vad dessa tal ”är”, så kan de med fördel definieras som att är mängden av positiva hela tal {1, 2, 3, …} medan + 1 är mängden av alla tal större än mängden av alla positiva heltal {1, 2, 3, …, }.

Skillnaden mellan dessa två mängder är att den sistnämnda till skillnad från den förra har ett sista element. Men de har samma mäktighet – vi kan ju para ihop elementen så att 2 i den första paras ihop med 1 i den andra, 3 i den första med 2 i den andra och så vidare, och slutligen parar vi ihop 1 i den första med .

Man får på detta sätt en oändlig mängd tal (, +1, +2,…) som alla har samma mäktighet. Antalet sådana tal blir fler än antalet heltal, alef-noll. I själva verket är detta antal det minsta talet som är större än alef-noll, följaktligen kallat alef-ett (1).

Vi har nu dels detta alef-ett, dels antalet reella tal. Vilken är då störst? Cantors hypotes var att de är exakt lika stora. Trots många försök lyckades han inte bevisa detta, och det är inte så konstigt. Hypotesen går nämligen varken att bevisa eller motbevisa!

En resa mot intet

Situationen komplicerades i början av att man upptäckte flera motsägelser inom mängdläran. Dessa hade ofta att göra med sådant som ”mängden av alla mängder” – en paradox i sig, eftersom mängden av alla mängder ju måste innehålla sig själv.

Så småningom, i början av 1900-talet, byggde matematikerna upp mängdläran på strikt logisk basis. Det ledde till att den österrikiske matematikern Kurt Gödel år 1940 kunde visa att Cantors hypotes inte kunde motbevisas – det går inte att föra i bevis att dessa oändligheter är olika stora.

Att man inte heller kan bevisa Cantors hypotes framgick av den amerikanske matematikern Paul Cohens arbete år 1963. Han lyckades konstruera modeller där de logiska grunderna för mängdläran är uppfyllda samtidigt som negationen av hypotesen gäller: antalet reella tal är inte lika med alef-ett. För detta arbete belönades Cohen år 1966 med en Fieldsmedalj – matematikens motsvarighet till Nobelpriset.

Har alltså frågan om hur många de reella talen är inte något slutgiltigt svar? Det finns olika uppfattningar om detta, och en del pekar mot att antalet reella tal i själva verket är lika med alef-två, där alef-två är det tal som kommer direkt efter alef-ett. Men här får framtiden utvisa hur det ligger till.

Den 53:e sången i Harry Martinsons Aniara heter ”Spjutet” och börjar:

På elfte året fick vi se en syn;
den smalaste, den magraste av syner:
ett spjut som rörde sig i Universum.
Det kom från samma håll som vår goldonder
och böjde inte av men höll sin bana.
Dess hastighet var större än goldonderns, med följd att spjutet
snabbt drog bort ifrån oss.

Åsynen av detta ”tomhetens spjut” påverkade resenärerna starkt så att ”tre blev galna, en tog livet av sig.”. När jag läste dessa rader erinrade jag mig ett annat litterärt spjut, nämligen det som dyker upp i den ovan nämnda De Rerum Natura av Lucretius. I en modern svensk översättning lyder den relevanta texten: ”Om nu vidare allt rum antas vara begränsat och om någon sprang till dess yttersta gräns och slungade det flygande spjutet, menar du då att detta spjut, kastat med all kraft, skulle fara i väg i kastriktningen eller tror du att något skulle hindra och hejda det? Du måste välja ett av dessa alternativ! Men båda stänger dina möjligheter att undkomma och tvingar dig att erkänna att universum utbreder sig utan gräns.” Så kanske rymdresenärerna hos Martinson vid åsynen av spjutet insåg att de var utkastade i en rymd utan slut, att deras resa skulle vara för evigt. Utan mål. Oändlighet och galenskap – kanske var det tur att jag somnade…

Hotellet med oändligt antal rum

1. Vad ska hotellägaren göra när alla rummen är upptagna och det dyker upp en gäst till?

2. Vad ska hotellägaren göra om det kommer ett oändligt antal nya gäster?

Svar till ”Hotellet med oändligt antal rum”

1. Ägaren flyttar gästen i rum 1 till rum 2, från rum 2 till rum 3 . . . osv. Och låter den nya gästen flytta in i rum 1.

2. Ägaren låter gästen i rum 1 flytta till rum 2, gästen i rum 2 till rum 4, gästen i rum 3 till rum 6, osv.

Då blir alla rum med udda nummer lediga.