Frågor av vikt
Hur går man till väga för att inte bli lurad när det saknas en digital våg och antalet vikter är begränsat? Finn de rätta strategierna.
Bild: Istock
1 Du vill köpa fem ädelstenar som påstås väga 1, 2, 3, 4 och 5 gram. Men du har fått veta att en sten är falsk och avviker lite i vikt. Försäljaren vet inte vilken sten det är men har en balansvåg med två skålar, men inga vikter. Hur kan du finna den falska stenen genom att använda vågen bara två gånger? Observera att den falska stenen kan väga mer eller mindre än angivet.
2 Vilken vikt har det lättaste föremål som väger ett helt antal gram, men som du inte kan väga med balansvåg och tre vikter: 1, 4 och 11 gram? Vikter får läggas i båda vågskålarna.
Facit: Frågor av vikt
1. Matematiskt sett söker vi det minsta positiva heltal som inte kan skrivas som formen a + 4b + 11c, där a, b och c kan anta värdena 1, 0 och –1.
Negativa värdet betyder att vikten läggs i samma skål som föremålet. Till exempel kan man avgöra att föremålet väger 3 gram genom att lägga föremålet tillsammans med 1-gramsvikten i den ena vågskålen medan 4-gramsvikten läggs i den andra skålen (a = –1, b =1 och c =0). På så sätt kan man kontrollera att uttrycket kan anta värdena 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15 och 16. Ett föremål som väger 2 gram kan kontrolleras genom att det väger mer än 1 gram men mindre än 3 gram. Samma gäller för vikterna 9 och 13 gram. Den minsta vikt som inte kan fastställas är 17 gram.
2. Numrera stenarna efter deras förmodade vikt. I första vägningen vägs stenarna 1 och 2 mot sten 3. I den andra jämförs stenarna 2 och 3 mot 5.
a) Vid jämvikt i första och andra vägningen är 1, 2, 3 och 5 äkta och därmed är sten 4 falsk.
b) Vid jämvikt i första vägningen och obalans i den andra är 1, 2 och 3 äkta medan 5 är falsk.
c) Vid obalans i första vägningen och balans i den andra är 2, 3 och 5 äkta medan 1 är falsk.
d) Vid obalans båda gångerna måste en sten som vägdes båda gångerna, alltså 2 eller 3, vara falsk. Det ger två fall:
d1) Om 1 + 2 väger mindre än 3 är sten 2 lättare eller sten 3 tyngre. Andra vägningen ger svar: om 2 + 3 väger mindre än 5 så är sten 2 lättare. Om 2 + 3 väger mer än sten 5 är sten 3 tyngre.
d2) Om 1 + 2 väger mer än sten 3 är antingen sten 2 tyngre eller sten 3 lättare. Andra vägningen ger svar enligt d1).
