Lapp på lapp och ingen sömn
Att sy ihop ett rektangulärt lapptäcke av kvadratiska tygbitar med olika storlek kan göra en sömnlös. Vore det inte lättare att använda bitar av samma storlek?
Lapptäcket är hopsytt av enbart kvadratiska lappar. Om man vill sy ett täcke till av exakt samma storlek fast med enbart lappar av den minsta storleken (brun på bilden), hur många behövs det då?
Observera att lapparna på bilden inte är perfekt kvadratiska. En lösning genom mätning eller uppskattning kan ge fel svar.
Facit: Lapp på lapp och ingen sömn
Kalla den minsta (bruna) kvadratens sida a och den näst minsta kvadratens sida b. Då har den orange kvadraten sidan 2b och den gröna därmed 3b. Den största (blå) kvadratens sida plus den bruna kvadratens sida är lika lång som 3b+b+b. Den blå kvadratens sida är då 5b-a. Den gula har sidan 5b-2a och den rosa 5b-3a.
Täckets vänstersida (rektangelns höjd) är lika med högersidan. Alltså: (5b-2a) + (5b-3a) = (5b-a)+3b, det vill säga 2b = 4a eller b = 2a.
Då blir rektangelns höjd 8b-a = 15a och bredden 10b-3a = 17a.
Alltså ryms 15 små kvadrater på höjden och 17 på bredden. Det behövs därför 15×17=255 lappar av den minsta storleken för att sy täcket.
