Allt som finns är matematik

Det är fredag förmiddag i Princeton när jag hittar den här pärlan i min inkorg från en erfaren professor jag känner:

Datum: 4 december 1998 7:7:42 EST
Ämne: Inget lätt mejl att skriva …

Bäste Max,

[…] dina stolliga artiklar ligger dig till last. För det första, genom att skicka dem till ansedda tidskrifter och ha oturen att få dem publicerade berövar du dem deras humorvärde […] Jag är redaktör för den ledande tidskriften […] och din artikel skulle aldrig ha publicerats i den. Det kanske inte är någon stor sak om det inte hade varit för att dina kolleger upplever denna sida av din personlighet som ett dåligt omen för din framtida utveckling. […] Du måste inse att om du inte drar en tydlig gräns mellan de här aktiviteterna och din seriösa forskning, ja, kanske avstår från dem helt och hållet, och förpassar dem till pubar och dylika ställen, riskerar du att äventyra din framtid.

Jag hade fått skopor med iskallt vatten över mig förut, men det här var ett av de minnesvärda tillfällen då jag förstod att jag hade slagit mitt personbästa och satt en ny toppnotering. När jag vidarebefordrade mejlet till min far, som hämtar mycket inspiration i mina vetenskapliga bedrifter, svarade han med ett citat från Dante: Segui il tuo corso et lascia dir le genti! (Gå din egen väg och låt folk prata!)

Jag hade fallit för fysiken just för att jag var fascinerad av de stora kosmiska frågorna. Samtidigt verkade det uppenbart att om jag följde mitt hjärta skulle jag få söka jobb på McDonald’s. Jag ville inte välja mellan intresse och karriär så jag utvecklade en hemlig strategi som visade sig fungera förvånansvärt bra, till den grad att jag både kunde äta kakan och ha den kvar. Jag kallade den Dr Jekyll/Mr Hyde-strategin och den drog nytta av ett sociologiskt kryphål: vad du gör efter jobbet angår bara dig och kommer inte att läggas dig till last så länge det inte hindrar dig i ditt dagliga arbete.

Så när någon auktoritet frågade mig vad jag arbetade med berättade jag att jag sysslade med kosmologiska mainstreamfrågor. Men i hemlighet, när ingen såg mig, förvandlades jag till den ondskefulle Mr Hyde och ägnade mig åt det som intresserade mig mest.

Denna lömska strategi fungerade bättre än jag hade vågat hoppas, och jag är ytterst tacksam för att jag får arbeta som fysikprofessor vid MIT utan att tvingas lägga mina främsta intressen åt sidan. Men nu känner jag att jag har en moralisk förpliktelse gentemot yngre forskare att ta fram Mr Hyde från den akademiska kammaren och göra vad jag kan för att flytta gränsen.

Vilken av mina artiklar var det då som fick den där professorn att uppmana mig att sluta innan jag ”äventyrade min framtid”? Jo, artikeln handlade om att vår fysikaliska värld är ett väldigt matematiskt objekt.

Vad är svaret på den yttersta frågan om livet, universum och allt? I Douglas Adams science fiction-roman Liftarens guide till galaxen blev svaret 42. Det svåraste visade sig vara att finna den verkliga frågan. Jag finner det träffande att Douglas Adams skämtade om talet 42, för matematiken har spelat en högst påtaglig roll för fysikens framgångar.

Tanken att vårt universum i någon mening är matematiskt går tillbaka åtminstone till pythagoreerna i antikens Grekland och har diskuterats i århundraden av fysiker och filosofer. På 1600-talet påstod Galileo Galilei att vårt universum är en ”stor bok” författad på matematikens språk. Långt senare, på 1960-talet, hävdade fysikern och Nobelpristagaren Eugene Wigner att matematikens enastående användbarhet inom naturvetenskaperna krävde en förklaring.

Nedan ska vi titta närmare på en verkligt radikal förklaring. Men vi behöver först reda ut vad det egentligen är vi försöker förklara. Var finns all denna matematik som jag tjatar om? Matematik handlar väl om siffror? Du ser antagligen några siffror här och där men de är bara symboler som uppfunnits och tryckts av människor, så de kan knappast anses vittna om att vårt universum är matematiskt i någon djupare mening.

När du ser dig omkring, ser du några geometriska mönster eller former? Mänskligt konstruerade former som den här tidningens rektangulära form räknas inte. Men kasta en sten och betrakta den vackra form som naturen tecknar av dess bana! Oavsett vad för slags föremål du kastar får det samma bana, en så kallad kastparabel.

När vi observerar hur föremål rör sig i banor i rymden upptäcker vi en annan återkommande form – ellipsen. Dessa båda former är dessutom besläktade med varandra: spetsen på en väldigt utdragen ellips är formad nästan exakt som en parabel, vilket innebär att alla dessa rörelser egentligen ingår i ellipser.

Vi människor har med tiden upptäckt många fler återkommande former och mönster i naturen som inte bara har med rörelse och gravitation att göra, utan med så vitt skilda fenomen som elektricitet, magnetism, ljus, värme, kemi, radioaktivitet och subatomära partiklar. Mönstren sammanfattas av det vi kallar fysikens lagar. Och precis som formen på en ellips kan lagarna beskrivas med hjälp av matematiska ekvationer.

Ekvationer är inte de enda matematiska vinkar som är inbyggda i naturen, det finns tal också. Nu syftar jag inte på mänskliga skapelser som sidnumren i den här tidningen, utan på de tal som utgör grundläggande egenskaper hos vår fysikaliska verklighet.

Hur många pennor kan du ordna så att alla hamnar i rät vinkel (90 grader) mot varandra? Svaret är 3 – exempelvis genom att placera dem längs de tre kanter som utgår från ett hörn i ett rum. Var kom talet 3 ifrån? Det talet beskriver vår rumsliga dimensionalitet. Men varför finns det tre dimensioner och inte fyra, två eller fyrtiotvå?

Och hur ska vi förhålla oss till alla dessa matematiska tecken som skymtar överallt i vår fysikaliska värld? De flesta av mina fysikerkolleger tolkar dem som att naturen av någon anledning låter sig beskrivas med hjälp av matematiken, i alla fall i grova drag, och nöjer sig med det konstaterandet. Kanske är det så, men jag är övertygad om att allt därmed inte är sagt.

Jag blev väldigt fängslad av alla matematiska tecken i naturen när jag doktorerade. En kväll i Berkeley 1990, när min vän Bill Poirier och jag satt och spekulerade om verklighetens yttersta beskaffenhet, slog det mig plötsligt vad alltsammans kunde tänkas betyda: att vår verklighet inte bara beskrivs med matematik, utan rent av är matematik.

Mitt första antagande är att det finns en yttre verklighet som är helt oberoende av oss. När vi beskriver en teoris konsekvenser inför vi nya begrepp och ord, till exempel protoner, atomer, molekyler, celler och stjärnor, eftersom det är praktiskt. Det är dock viktigt att komma ihåg att det är vi människor som skapar begreppen; i teorin kan allt beräknas utan detta bagage.

Om vi antar att verkligheten existerar oberoende av människor måste en beskrivning, för att vara fullständig, också vara väldefinierad enligt icke-mänskliga entiteter – till exempel utomjordingar eller superdatorer – som saknar varje förståelse av mänskliga begrepp. Med andra ord måste en sådan beskrivning uttryckas i en form som är fri från mänskligt bagage över huvud taget. Detta leder oss fram till min matematiska universum-hypotes, som säger att vår yttre verklighet är en matematisk struktur.

Anta till exempel att basketbollens bana föreställer det sista, matchvinnande kastet och att du senare vill beskriva det för en vän. Eftersom bollen består av elementarpartiklar (kvarkar och elektroner) skulle man teoretiskt sett kunna beskriva dess rörelse utan att över huvud taget blanda in basketbollar:

l Partikel 1 rör sig i en parabel.

l Partikel 2 rör sig i en parabel.

…

l Partikel 138 314 159 265 358 979 323 846 264 rör sig i en parabel.

Det vore dock ganska opraktiskt, för det skulle ta längre tid att uttala beskrivningen än vad vårt universum är gammalt. Det vore dessutom onödigt, eftersom samtliga partiklar sitter ihop och rör sig som en enhet. Det är därför vi människor har uppfunnit ordet boll som benämning på hela enheten, vilket gör att vi kan spara tid genom att helt enkelt beskriva hela enhetens rörelse en gång för alla.

Bollen skapades av människor, men principen gäller även sammansatta föremål som inte har skapats av människan, som molekyler, stenar och stjärnor: att hitta på ord för sådana företeelser är praktiskt dels för att det sparar tid, dels för att de ger oss lättfattliga abstrakta begrepp som gör att vi kan förstå världen mer intuitivt. Men även om sådana ord är användbara är de samtidigt ett valfritt bagage.

Därmed inställer sig frågan: går det verkligen att finna en beskrivning av den yttre verkligheten som inte bär på något bagage?

För att besvara frågan om det går att finna en bagagefri beskrivning av den yttre verkligheten måste vi se närmare på matematiken. För en nutida logiker är en matematisk struktur en uppsättning abstrakta entiteter som står i relation till varandra. Exempel på sådana är heltal eller geometriska objekt som dodekaedern, en av pythagoreernas favoriter. Detta står i bjärt kontrast till det sätt på vilket de flesta av oss till en början uppfattar matematiken – antingen som en sadistisk form av bestraffning eller som en trollerilåda för sifferkonster. Men precis som fysiken har matematiken utvecklats och kommit att ställa bredare frågor.

Den moderna matematiken kan beskrivas som studiet av strukturer som går att definiera på ett rent abstrakt sätt utan något mänskligt bagage. Tänk dig att matematiska symboler bara är etiketter utan någon inneboende mening. Det spelar ingen roll ifall man skriver två plus två är lika med fyra, 2 + 2 = 4, eller dos mas dos igual a cuatro. De skrivtecken som används för att beteckna entiteterna och relationerna är ovidkommande.

Sammanfattningsvis rymmer diskussionen ovan två viktiga konstateranden: att yttre verklighets-hypotesen förutsätter att en teori om allt (en fullständig beskrivning av vår fysikaliska verklighet) saknar bagage och att något som förklaras fullständigt med en bagagefri beskrivning inte är något annat än en matematisk struktur. Sammantaget innebär detta att min matematiska universum-hypotes, det vill säga den yttre fysikaliska verklighet som beskrivs av teorin om allt, är en matematisk struktur. Allt i vår värld är rent matematiskt – även du själv.

Ovan beskrev jag hur vi människor kompletterar våra beskrivningar med det jag kallar bagage. Låt oss nu se närmare på motsatsen: hur matematiska abstraktioner kan eliminera bagage och skala bort oväsentligheter.

Ta till exempel det schackparti som har blivit känt som det odödliga partiet, där vit på ett spektakulärt sätt offrar båda tornen, en löpare och damen för att senare ställa svart schack matt med tre mer lättviktiga pjäser. Partiet spelades för första gången år 1851 av Adolf Anderssen och Lionel Kieseritzky. Men samma parti spelas om en gång om året i den italienska staden Marostica med människor utklädda till pjäser, och det upprepas regelbundet av oräkneliga schackentusiaster över hela världen.

Schack handlar om abstrakta entiteter, till exempel olika schackpjäser och olika rutor på brädet, och om relationer mellan dessa. En relation som en pjäs kan ha med en ruta är till exempel att den står på den senare. En annan relation som en pjäs kan ha till en ruta är att den kan flyttas till den. På motsvarande sätt är en beskrivning av en schackställning formulerad helt på engelska ekvivalent med en beskrivning som är formulerad helt på spanska.

Vad finns då kvar när man har skalat bort alla dessa beskrivningar, allt bagage? Jo det odödliga partiet självt, 100 procent rent och utan tillsatser. Det finns bara en matematisk struktur som ger alla dessa ekvivalenta beskrivningar.

Matematisk universum-hypotesen innebär att vi lever i en relationell verklighet i den meningen att egenskaperna hos världen omkring oss inte härleds ur egenskaper hos de minsta byggstenarna, utan ur relationerna mellan dessa. Min övertygelse, som kan verka lite galen, att vår fysikaliska värld inte bara kan beskrivas med matematikens hjälp, utan att den faktiskt är matematik, förvandlar oss till jagmedvetna delar av ett enormt matematiskt objekt. l

Artikeln är ett utsnitt ur Max Tegmarks bok Vårt matematiska universum, som kommer ut på Volanteförlag i maj, översatt från engelska av Pär Svensson.

Om forskaren: Max Tegmark

Max Tegmark är astrofysiker och kosmolog från Stockholm, och numera professor i fysik vid Massachusetts institute of technology (MIT) i USA.