Zenons paradox är ingen paradox
Jag förstår allvarligt talat inte vad det är för problem med Akilles och sköldpaddan. Det är enligt min mening ingen paradox. Man kan ju inte bara lyfta ut tidsaspekten ur en kapplöpning och därefter göra en jämförelse avolika delsträckor efter varandra, för i så fall når de målet tillsammans, eftersom de tillryggalägger samma sträcka och det utan att ha haft någon hastighet.
OLA THÖRNGREN
Svar:
Du har rätt i att om man lyfter ut tidsaspekten, så förändrar sig onekligen problemet. Det problem som då blir renodlat är frågan om summan av en oändlig mängd storheter, t ex längder, kan bli ett ändligt tal. Detta är inget problem om man använder gränsvärdebegreppet i modern matematik så som det utvecklades på 1800-talet, men det var knepigare för grekerna.
I paradoxen som den formulerades i antiken är emellertid tiden inte utlyft. Tvärtom är problemet just att det finns oändligt många tidpunkter då Akilles ännu inte hunnit i kapp sköldpaddan. Vid varje tidpunkt, då han kommit fram till det ställe där sköldpaddan befann sig vid tidpunkten innan, har hannämligen kvar en distans att tillryggalägga innan han hunnit i kapp. Vi har alltså en oändlig serie tidpunkter till vilka är korrelerat en oändlig serie delsträckor. Akilles måste inom en ändlig tid ta sig över alla dessa oändligt många delsträckor. De blir visserligen allt kortare, men aldriglika med noll; när (observera tidskonjunktionen ²när²) Akilles har tillryggalagt ändligt många av delsträckorna, finns det alltid en delsträckatill som han måste klara av.
Poängen med paradoxen är förstås inte att Akilles inte hinner i kapp: vi vetju att han gör det. Renodlar man resonemanget i paradoxen, kan man visa att ingen över huvud taget kan röra sig – det var just det Zenon ville visa. Menigen: vi vet ju att man kan röra sig. Poängen är att man begreppsligt måste kunna hantera sådana här oändliga serier på ett lämpligt sätt för att få det hela att gå ihop. Det som framförs i artikeln är att paradoxer ofta kan vara fruktbara, då de stimulerar utvecklingen av våra begrepp. Närmare betraktad har just denna paradox många aspekter, och en är just att kunna summera oändliga serier så att man får en ändlig summa. Man kan ju säga att det intevar ett så litet framsteg, när man lärde sig att göra det.
DAG PRAWITZ
