Stefan har inte två valmöjligheter

Det slumpmässiga inslaget i presentöppnandet ligger i att Stefan väljer ett av de båda givna kuverten med lika sannolikheter: 0,5 vardera. Detta faktum bestämmer det aktuella utfallsrummet.

Om beloppen i kuverten är a respektive b blir den förväntade vinsten 0,5 a+0,5 b. Att det ena beloppet är dubbelt så stort som det andra förändrar i princip inte detta: Om beloppet i det ena kuvertet är x och i det andra 2x blir förväntade vinsten följaktligen 0,5x + 0,5 * 2x=1,5x. Om Stefan byter kuvert blir den förväntade vinsten densamma – det blir sålunda ingen genomsnittlig förändring om Stefan konsekvent byter kuvert varje födelsedag.

Att Stefan skulle ha två valmöjligheter är bara en chimär. Antag att det ligger 100 kronor i det ena kuvertet och 200 kronor i det andra. Alternativet dubbla summan finns bara om Stefan drar 100-kronorskuvertet och alternativet halva summan finns bara om Stefan drar 200-kronorskuvertet. Stefan kan för varje kuvertval inte välja mellan halva och dubbla summan. I stället är det så att sannolikhetsfördelningen över de båda fallen beror av vilket val som Stefan har gjort från början.

För att inse det absurda i Stefans resonemang kan man tänka sig att Mia väljer ut syskonpar i familjer med två barn, där det ena barnet är dubbelt så gammalt som det andra räknat i hela år. Hon skriver barnens namn i de båda kuverten och meddelar Stefan att han får lika många kronor som det valda barnets ålder. Om Stefan väljer ett barn som är tio år gammalt finns antingen möjligheten att syskonet är 5 år eller att syskonet är 20 år, så det går inte att påstå att sannolikheterna för de båda möjligheterna är lika stora. Alternativt kan man tänka sig att Mia varje gång har två kuvert med beloppen 100 och 200 kronor. Om Stefan varje gång han väljer 200-kronorskuvertet hävdar att det är lika stor chans att det andra kuvertet innehåller 100 som att det innehåller 400 kronor misstar han sig. Några 400-kronorskuvert finns ju inte.

Att vi i fallet med Stefans kuvert skulle ha två alternativ att välja mellan säger inte att sannolikheterna automatiskt är 0,5 respektive 0,5. Det kan till och med vara så, som här, att sannolikhetsfördelningen varierar efter hur det första utfallet (Stefans val av kuvert) ser ut. Problemet ligger alltså inte i om Mia har ett ändligt eller oändligt antal kronor till förfogande.