År 1947 kunde fysikläraren Ernst Ising äntligen stiga i land i New York med sin fru och sina barn, efter de otrygga krigsåren i Europa. För första gången sedan 1933 hittade han en riktig anställning där han fick undervisa i fysik och snart blev han en omtyckt professor vid Bradley university i Peoria i Illinois. När han under de kommande åren åter började läsa vetenskapliga tidskrifter gick det gradvis upp för honom att den enkla modell av magnetiska material som han hade studerat som doktorand hade blivit ett känt fenomen. Den hade till och med spritts med hans eget namn som etikett: Isingmodellen kallades den nu.

Ernst Isings enda publicerade forsknings­artikel, med modellen han i princip tänkt på som en återvändsgränd, hade inspirerat andra forskare som börjat tillämpa den på nya problem.

Kanske är Ernst Ising den allra mest kända fysiker du aldrig hört talas om. Ett fysikens one hit wonder, men med en självskriven plats i vetenskapshistorien. Som vi ska se har Isingmodellen direkt och indirekt koppling till flera Nobelpris och har fått tillämpningar inom så skilda områden som statistisk fysik och sociologi. En sökning på Google scholar tyder på att antalet nya forskningsartiklar som refererar till Isingmodellen nu på 2020-talet är uppe i över 5 000 per år.

– Det är en så framgångsrik modell för att den går att tillämpa i nästan alla vetenskapsområden, säger den österrikiska fysikern Reinhard Folk, som efter sin pensionering har studerat Ernst Isings liv och Isingmodellens ursprung.

Men alltihop började med magnetismens gåta.

En vanlig permanentmagnet av järn är typ­exemplet för en typ av magnetism som kallas ferro­magnetism, efter latinets ferrum, järn.

Fysikern och Nobelpristagaren Pierre Curie (make till Marie Curie) hade redan 1895 upptäckt att om en permanentmagnet hettas upp kommer den vid en viss temperatur att tappa sin magnetisering. Ungefär som när vatten fryser eller smälter genomgår magneten en fasövergång, där smådelarna plötsligt hamnar i ett annat gemensamt tillstånd än de hade tidigare. Att förstå ferromagnetismen handlade alltså också om att förstå hur en sorts ordning kan övergå i en annan.

En annan Pierre, med efternamnet Weiss, föreslog att ferromagnetism beror på att atomerna kan fungera som små magneter och att de förstärker varandra och tillsammans ger upphov till ett magnetfält som har effekter även utanför materialet. Grundidén hade funnits sedan 1700-talet, men Pierre Weiss tänkte sig att det finns en typ av inre fält i magnetiska material som får områden att bildas, där atomernas småmagneter gärna orienterar sig i samma riktning.

För att förklara hur den där inre växelverkan fungerade behövdes kvantmekaniken, men i början av 1920-talet var den ännu inte utvecklad. Det var vid den här tiden Ernst Ising försökte förstå hur den inre ordningen i ett magnetiskt material egentligen uppstår.

Ett av de kraftfulla redskapen i fysikens verktygslåda är att förenkla och renodla en företeelse tills det enda som är kvar är själva essensen i det problem man försöker lösa. De komplicerande detaljerna som följer med i verkligheten kan då hanteras som justeringar i efterhand, när den grundläggande lösningen finns på plats.

Isaac Newton kunde till exempel göra mycket bra beskrivningar av kroppars rörelser genom att hantera varje kropp som om den bestod av en massa samlad i en punkt. Men för att förstå varför månen rör sig bort från jorden måste kropparna få tillbaka sin utsträckning och sitt innanmäte, som knådas av de tidvattenkrafter de utövar på varandra.

I den andan fick Ernst Ising ta över en tänkt modell av sin handledare Wilhelm Lenz, som gav honom i uppgift att testa om modellen skulle kunna fungera för att beskriva hur ordningen uppstår i en ferromagnet. För att göra matematiken hanterlig tänkte sig Wilhelm Lenz en magnet i bara en dimension – en kedja av atomer som var och en fungerade som en magnet i miniatyr. Varje atom i kedjan kunde växelverka med sin närmaste granne, men inte känna av någon påverkan från atomer längre bort än så. Atommagneterna kunde bara ha två lägen, och Ernst Ising definierade deras växelverkan så att två grannar har lite lägre energi om de pekar i samma riktning än om de pekar åt olika håll. Frågan var alltså om en övergripande ordning kunde uppstå ur mikroskopiska växelverkningar mellan de ingående atomerna.

När Ernst Ising benat ut matematiken och hittat en formel som beskrev lösningen kom han fram till att modellen inte räckte till för att beskriva ferromagneter. Atomerna skulle kunna rada upp sig i samma riktning så länge det fanns ett yttre magnetfält. Om det försvann och det bara var atomernas egna små magneter som var i spel, skulle däremot varje liten störning bryta ordningen och atomkedjan skulle inte få kvar någon total magnetisering. Han resonerade lite omkring hur det skulle se ut i två dimensioner – med atomer som breder ut sig i två riktningar och bildar en yta – eller i en volym med tre dimensioner, men drog slutsatsen att det inte skulle gå att få en lösning då heller.

Där satte han punkt, och trodde inte att det skulle leda till något mer. Men med facit i handen kan vi konstatera att detta är ett exempel på att det kan vara viktigt att publicera även negativa resultat.

Ernst Ising valde att lämna akademin efter att han var färdig med sin avhandling. Han gav sig ut i industrin, men insåg snart att han tyckte bättre om att undervisa och blev i stället gymnasielärare. Det ovanliga, och något han knappast själv kunde ana, var att hans enda publicerade forsknings­artikel från 1925 skulle bli odödlig.

Men först kom nazismen och kriget. 1933 blev Ernst Ising som alla andra judar i offentliga anställningar av med jobbet. Han och hans familj försökte 1939 emigrera till USA via Luxemburg. De strikta immigrationsreglerna gjorde att de inte hann få visum innan den tyska armén ockuperade landet 1941. Som make till en icke-judisk kvinna var Ernst Ising inte omedelbart hotad, men han levde ett mycket otryggt liv. Han undervisade judiska barn, och fick se familjer deporteras till vad de förstod var en sannolik död. Under en period blev han tvingad till arbete för ockupationsmakten, tillsammans med andra judiska män som var gifta med icke-judar. De tvingades montera ner järnvägsräls som ställts upp som stridsvagns­hinder och som skulle sändas till östfronten.

Under tiden hade andra forskare arbetat vidare med Isingmodellen, och använt den både som skolboksexempel och som avstamp för nya funderingar. Skulle den bli annorlunda om atomerna växelverkade längre bort än bara med närmaste granne? Hur ser det egentligen ut i fler dimensioner, skulle lösningarna kunna bli mer givande om atomerna växelverkar i flera riktningar?

Isingmodellen har likheter med sällskapsspelet Othello, där brickor i ett rutnät är svarta på ena sidan och vita på den andra. Spelet beskrivs som att det tar en minut att lära sig men en livstid att bemästra. Alla kan förstå principen för att ställa upp ett mönster av enheter som kan ha två olika värden. Att det finns regler för hur individuella enheter byter värde beroende på vad som händer runtomkring är inte heller svårt. Men att verkligen bemästra matematiken för Isingmodellen var en utmaning.

Ett stort genombrott kom 1944. Det var norrmannen Lars Onsager, verksam vid Yale university i USA och senare också Nobelpristagare i kemi, som hittade en lösning för Isingmodellen i två dimensioner. Hans lösning visar att den tvådimensionella modellen faktiskt ger en riktig beskrivning av en fasövergång. Några år senare löste den kinesiske fysikern Yang Chen-Ning (även kallad Frank Yang) den tvådimensionella Isingmodellen specifikt för magnetism.

Under tiden hade det också gått upp för många forskare att Isingmodellen kan tillämpas på olika sorters problem. Så fort ett problem kan representeras som ett nätverk av enheter, som kan ha två olika värden och som växelverkar med varandra, blir Isingmodellen relevant. I en legering kunde till exempel Isingmodellens två värden representera två olika grundämnen, och modellen kan beskriva hur grundämnena byter plats och kan separeras från varandra.

Just den här allmängiltigheten har gjort att Isingmodellen ibland beskrivs som fysikens mot­svarighet till biologins bananfluga. Biologer gör mängder av experiment med bananflugan, Drosophila melanogaster – den är ett användbart modellsystem som används inom många biolo­giska forskningsfält. På motsvarande sätt kan Ising­modellen användas som modell för en bred palett av olika problem, inte minst när den modifieras och utvecklas på olika sätt. Enheterna kan till exempel få fler värden än två, och kopplingarna mellan dem kan hanteras på olika sätt.

– Ett viktigt steg är att gå från välordnade system som kristaller till allmänna komplexa system, som kan beskrivas med nätverk. Och det är attraktivt för att till exempel beskriva nätverk i sociologi och ekonomi, säger fysikern Reinhard Folk, som har studerat och skrivit om Ernst Ising.

Komplexa system är en beteckning för system som består av många olika delar som samverkar med varandra. En ekonom kanske vill modellera handel – de två tillstånden hos enheterna i Isingmodellen kan representera att köpa eller sälja. Inom sociologi kan forskare studera sådant som polarisering och tendenser för olika grupperingar att separeras eller blandas ut. 2024 använde till exempel en grupp forskare från Kroatien och Polen Isingmodellen för att modellera valresultat och hitta en mekanism för hur det kommer sig att de ofta blir väldigt jämna.

Ett annat exempel kan vi hitta i Nobelpriset i fysik 2024, som gick till John Hopfield och Geoffrey Hinton för deras upptäckter om artificiella neuronnät – som dagens AI-teknik bygger på. När John Hopfield skrev sin första artikel om sitt neuron­nät som fungerade som ett associativt minne noterade han likheterna med Isingmodellen. Det finns skillnader, som att alla enheterna i John Hopfields nätverk växelverkar med alla de övriga, i stället för att ligga uppradade och bara känna av de närmaste grannarna. Det viktiga var ändå att han kunde dra nytta av att matematiken för att hantera de här systemen redan fanns på plats, som ett etablerat inslag i den statistiska fysiken.

Ernst Ising själv gjorde inga fler bidrag till ut­vecklingen av Isingmodellen, men han fortsatte att följa diskussionerna. 1925, när han såg sitt avhandlingsresultat publicerat i Zeitschrift für Physik, hade knappast någon kunnat förutsäga vilka framgångar modellen skulle få. Reinhard Folk påminner om att Isingmodellen är ett bra exempel på hur viktigt det kan vara att publicera negativa resultat. Ernst Ising hittade inte den fasövergång han sökte, men forskarvärlden fick en mycket användbar modell.