Finns slumpen?

När jag åkte tåg till Sundsvall häromsistens så hamnade jag i samma kupé som en skolkamrat som jag inte hade träffat på 40 år. Hur stor är sannolikheten för det?

Jag vet inte. Matematiken saknar svar på det. Eftersom det inte handlar om ett slumpförsök, finns det inte någon statistisk modell för sådana slags händelser, och då finns det inte heller några sannolikheter för dem.

En variant på detta är händelser som egentligen inte ens är sällsamma. Någon berättar att just som han ringde sin älskade maka så var det upptaget. När han ringde någon minut senare, visade det sig att hon i precis samma ögonblick hade försökt ringa honom!  Då påstår jag lite trist, eller oromantiskt, att detta inte är så märkligt. Älskar man varandra, är det väl inte så konstigt om man tänker på varandra samtidigt och ringer varandra samtidigt. Och, förresten, hur många gånger har man inte ringt varandra utan att det var upptaget, utan att ens notera att det inte var upptaget?

Vad vi till vardags kallar slump är något annat än vad som kallas slump i matematiken. Inom sannolikhetsteorin används slump som en benämning på det oförutsägbara. Det innebär att även om ett försök upprepas exakt, så går det inte att förutsäga resultaten från gång till gång.

Utgående från slumpförsöket skapar man en modell. En modell är inte samma sak som verkligheten, utan ett sätt att så väl som möjligt beskriva den. Modellen används i sin tur som bas för de matematiska beräkningarna.

Finns då slumpen? Frågan har stötts och blötts av lärda män alltsedan tidernas begynnelse. Låt mig slingra mig ur den på följande sätt: Man kan tro på Ödet, Gud och på Slumpen. Hur hänger då dessa ihop? Är det Gud som i sin outsinliga godhet eller nåd styr ödet, som i sin tur styr oss? Är det slumpen som ödesbestämmer våra liv? Kan det vara så att förment oförklarliga sammanträffanden eller på annat sätt märkliga händelser ska tolkas som en vink från ovan, som ödesbestämda? Hur är det med synkronicitet, det vill säga samtidiga händelser utan orsakssamband?

Just när jag börjar fundera i dessa banor skriver Maria Schottenius en kulturkrönika i Dagens Nyheter som tangerar dessa frågor. Förresten, är det en slump att den kommer just när jag sitter och tänker på detta? Eller är det ödet som räcker mig en hjälpande hand?

I DN-artikeln refereras till en doktorsavhandling av Kristiina Savin i ämnet idé- och lärdomshistoria: ”För Gud finns ingen slump, skriver Savin: ’Människans hårstrån är räknade och inte ens en sparv faller till marken utan den himmelske faderns vilja.’ I sorg och glädje är det Guds vilja som uppfylls, ingenting avgörs av tillfälligheterna.”

Tänker man vidare kan man möjligen tycka att om det inte finns någon slump för Gud, och om Gud är allsmäktig, så kan inte slumpen existera för människorna heller. För gjorde den det så funnes det något som människan hade tillgång till som inte existerar för Gud.

Å andra sidan – de gamla grekerna uppfattade slump just som något styrt av gudarna; de hade till och med en slumpens gudinna, Tyche.

Vare sig slumpen finns eller inte, ger den oss och de slumpmodeller den ger upphov till en enastående möjlighet att beskriva och analysera händelser som berör oss dagligen. Händelser där vi inte exakt kan förutsäga vad som ska ske, även om vi har full kontroll över de yttre omständigheterna.

Ett viktigt begrepp för att mäta graden av slumpmässighet är entropi. Begreppet kommer från termodynamiken, där entropi är ett mått på avvikelse från jämviktsläget hos ett sammansatt system. Det kan tolkas som ett mått på oordningen i systemet, där hög oordning svarar mot hög entropi.

Inom informationsteorin används entropi som ett mått på informationsinnehållet, där ett högt informationsinnehåll svarar mot låg entropi och tvärtom. Inom statistiken svarar hög entropi mot hög slumpmässighet.

Går det till exempel att säga om ett mynt är mer slumpmässigt än ett annat? Och vilket ger mest slump – ett mynt som har samma sannolikhet för krona eller klave eller ett mynt där sannolikheten är, låt oss säga, 90 procent att få klave?

Matematisk analys av entropin visar att det symmetriska fallet ger störst entropi, och då är också slumpen som störst. Medan entropi för ett mynt med en klave och en krona på vardera sidan är lika med noll.

För att tolka detta kan vi tänka så här. Slumpen kan vi som bekant inte veta något om i förväg. Inte ens om vi singlar ett symmetriskt mynt många gånger får vi någon ledtråd om vilket utslaget blir nästa gång. Alla gissningar är lika bra, eller dåliga. Om vi däremot singlar ett asymmetriskt mynt, där sannolikheten för klave är 90 procent och sannolikheten för krona bara 10 procent, så är det rimligare att gissa på klave än på krona – det blir oftare rätt. Extremfallet är förstås ett mynt med krona på bägge sidor. Då vet vi allt. Det symmetriska myntet som har störst entropi ger oss således minst information.

Om man sneglar mot termodynamiken kan man säga att det symmetriska myntet är det mest kaotiska. Myntet med klave på bägge sidorna, som hade entropin lika med noll, ger oss däremot fullständig information, det är synnerligen välordnat. Vilket belyser rimligheten i att se information och slumpmässighet, ordning och kaos, som varandras motsatser – stor slumpmässighet ger ingen information, allt är kaos. Och tvärtom.

Det finns mycket som egentligen inte har med siffror och matematik att göra, men som det ändå går att sätta siffror på, åtminstone i metaforisk mening.

Ta till exempel entropi och människotyp. En pålitlig, ordningsam, förutsägbar, inflexibel människa överraskar föga; man vet precis vad hon ska svara, säga, göra och därför kan hon beskrivas med en entropi nära noll, medan en nyckfull, impulsiv, spontan och kaotisk person ger mycket lite information, och på så vis inte är förutsägbar. En sådan person kan identifieras med hög entropi.

år det att helt undvika slumpen? Det korta svaret är nej, för hundra procent finns inte. Och eftersom hundra procent inte finns, så finns inte noll procent heller – om man inte till hundra procent kan garantera att ingenting kan gå fel, så kan inte risken för fel vara lika med noll. Om man, till exempel, vill avgöra om en ny behandlingsmetod är bättre än den vedertagna kan man jämföra en grupp som behandlas på traditionellt vis med en annan som behandlas med den nya metoden.

Hur noga allt än har planerats, kan den nya metoden av en ren slump råka ge bättre resultat trots att metoderna är likvärdiga. Den felaktiga slutsatsen blir då att den nya metoden är bättre. Trots att den inte är det. Så helt hundraprocentigt säker kan man inte vara.

Detta är långt från uppenbart till vardags. För att ta ett exempel: För några år sedan väckte dåvarande justitiekanslern Göran Lambertz uppmärksamhet när han hävdade att det sitter oskyldigt dömda i fängelse. För en statistiker är detta en självklarhet. Precis som att det finns skyldiga som går fria. Även om en rättegång inte är ett slumpexperiment, så baseras slutsatsen, friande eller fällande dom, på de bevis som presenteras – av människor som sedan tolkar och värderar. Hur noga man än värderar och analyserar kan man därför inte utesluta att det ibland blir fel.

Inte ens robotar är felfria, eftersom de har programmerats av människor. Ingenting är fullkomligt, så enkelt är det. Och så komplicerat. Ett dyrbart exempel är den amerikanska rymdraket som missade sitt mål därför att man hade råkat blanda ihop centimeter och tum.

Vi kan inte undvika slumpen. Den finns alltid omkring oss som ett gäckande inslag i våra liv.

Om forskaren: Allan Gut

Professor emeritus i matematisk statistik vid Uppsala universitet med sannolikhetsteori som huvudsakligt forskningsområde.