Matematik – uppfunnen eller upptäckt?

Finns perfekta cirklar? Hur du svarar på den frågan säger allt om ditt förhållande till matematiken. För en matematiker är svaret obetingat JA, och så har det varit ända sedan Platon skapade sin idélära för snart 2 400 år sedan. Även de som inte tror på perfekta cirklar kan åberopa gamla auktoriteter, eftersom Aristoteles några år senare ifrågasatte idéläran och hävdade att perfekta cirklar bara är ”abstraktioner i en matematikers huvud”.

En av grundfrågorna i matematikens filosofi gäller just i vilken mening som matematiska företeelser verkligen existerar. För verksamma matematiker är det självklart att de finns – hur skulle vi kunna studera saker som inte finns? Men i så fall får man fråga sig: Var någonstans finns de? Hur länge har de funnits? Kommer de alltid att finnas? Och existerar det matematiska företeelser som vi ännu inte har upptäckt?

Eftersom de saker som vi matematiker studerar inte är skapade har de alltid funnits. De bara väntar på att bli upptäckta och studerade. Matematikerns uppgift är då att utforska dessa objekt för att upptäcka deras egenskaper som sedan kan formuleras som satser. Sedan tillkommer att bevisa dem. Vidare är det självklart att bevisade satser är sanna – inget kan rubba vår tillit till matematiken som absolut sanning.

Inte heller icke-matematiker brukar tvivla på matematiken som sådan, och därmed borde allt egentligen vara frid och fröjd.

Det har dock inte alltid varit på det här sättet, och så sent som i början av det förra århundradet var det ett antal matematiker med David Hilbert i spetsen som ville bevisa att matematikens sanningar verkligen är absoluta. Bakgrunden var att den moderna matematiken under 1800-talet hade genomgått en utveckling som påminde om vad som hände i Grekland 2 000 år tidigare. Man upptäckte att man helt enkelt inte visste tillräckligt mycket om en del av de mest grundläggande företeelserna, exempelvis de reella talen.

Problemet ledde till den kanske mest genomgripande revolutionen i matematikens historia, nämligen Georg Cantors mängdlära. Den liggande åttan var visserligen redan etablerad som beteckning för oändligheten, men Cantor gick bortom oändligheten och upptäckte att det finns flera olika oändligheter. Därmed kom man in i en helt ny tankevärld, där det var lätt att göra fel. Man upptäckte svårförklarliga paradoxer, som det tog flera år att förstå och åtgärda. Det i sin tur hade lett till att några ledande matematiker känt marken gunga under fötterna och ville ha säkrare bevis för att matematiken var absolut säker.

Därmed uppstod för en tid åtminstone tre matematiska filosofier. Bertrand Russells logicism ville reducera matematiken till ren logik, som åtminstone just då föreföll säkrare. Hilberts formalism ville reducera allt till ett formellt spel. L.E.J. Brouwers intuitionism krävde helt enkelt en strängare logik.

Så småningom upphörde kampen mellan dessa tre riktningar. Skälet var att matematikerna i gemen hade fortsatt att göra ny matematik och att det, när man väl lärt sig de nya begreppen, inte blev – åtminstone så vitt vi vet i dag – så mycket fel längre. Behovet att göra matematiken ”absolut säker” kändes inte längre så överhängande.

Finns det då någon anledning att i dag fundera över matematikens filosofi? Spelar det någon roll vad vi har för uppfattning om de matematiska sanningarnas natur och om huruvida begreppen är eviga och har en av människan oberoende existens? Just nu är frågan kanske inte brännande, men jag tror att det finns åtminstone två anledningar att reflektera över matematikens filosofi. Den ena är att det finns så oerhört mycket matematik under ytan i den moderna tekniken att behovet av goda matematikkunskaper i världen är större än det någonsin varit. Den andra är att ungdomens intresse för matematik sedan ett antal år är avtagande.

Följdfrågan blir då om matematikens framsteg beror på uppfinningar eller upptäckter. Även om dessa frågor inte är existentiella i den meningen att de ger svar på frågor om livets mening eller om vad som är ont eller gott, så tror jag att de har det gemensamt med dessa att de i grunden är trosfrågor. Det jag vill göra är därför att beskriva min egen tro.

Min utgångspunkt är då att matematiken precis som andra vetenskaper drivs framåt av ett växelspel mellan uppfinningar och upptäckter. Till skillnad från andra vetenskaper är det dock som regel inte tekniska uppfinningar utanför matematiken utan de rent matematiska uppfinningarna som har varit viktigast.

Vad finns det då för uppfinningar inom matematiken? De mest uppenbara är de beteckningar och symboler som vi använder, sådana som exempelvis likhetstecknet. Ändå är detta ett tecken som inte använts längre än knappt 500 år.

Med hjälp av dessa uppfinningar öppnas möjligheter till nya upptäckter som i sin tur leder till nya uppfinningar. Exempelvis ledde uppfinningen av decimalbråken till upptäckten av de reella talen som i sin tur ledde till upptäckten av infinitesimalkalkylen.

Enligt min uppfattning har dessutom uppfinningarna ofta varit viktigare för matematikens utveckling än upptäckterna. Ett exempel är just upptäckten av infinitesimalkalkylen, som gjordes av britten Isaac Newton och tysken Gottfried von Leibniz, oberoende av varandra, i början av 1700-talet. Medan Newton kan beskrivas som den främste upptäckaren, så var Leibniz den främste uppfinnaren. Leibniz uppfinning kom omedelbart till användning på kontinenten medan Newtons kalkyl, mest på grund av nationalistiska självhävdelsebehov användes i Storbritannien under närmare 150 år, något som ledde till vad som ofta beskrivs som ett förlorat århundrade för den brittiska matematiken.

En följd av att jag ser uppfinningarna som väsentliga för matematikens utveckling är att jag också anser att det finns upptäckta och av människan oberoende företeelser (som jämna och udda tal) och andra, som även om de är att betrakta som upptäckter, ändå är skapade av människan.

Detta innebär att jag i min matematikfilosofi hamnar nära den uppfattning vars främste företrädare är amerikanen Reuben Hersh och som han kallar den humanistiska filosofin. Den betraktar matematiken som helt och hållet en mänsklig skapelse. Enligt Hersh är det som skiljer matematiken från andra mänskliga skapelser att den är reproducerbar, vilket till exempel innebär att om två matematiker arbetar på samma problem och kommer till olika resultat så vet vi att åtminstone den ena har gjort fel. De kan också ha kommit till samma resultat på olika sätt och då brukar vi tro att båda gjort rätt.

Till sist är ändock matematikens existentiella frågor av samma natur som andra existentiella frågor. De har inga absoluta svar utan är att betrakta som trosfrågor där var och en blir salig på sin tro.