Matematiken är fran Venus, fysiken fran Mars

Om man vill beskriva relationen mellan matematik och fysik ligger det nära till hands att tänka på dem som två personer förenade i ett äktenskap som innehåller både intensiv passion och perioder av relativt ointresse. Den första blinda förälskelsen kan sägas ha varat fram till början av 1800-talet. Före dess går det knappast att ens skilja på matematiker och (teoretiska) fysiker. Men under 1800-talet kan man till och med finna exempel på fysiker som klagar över att matematiker ger sig på fysikaliska problem utan att förstå dem.

Mer intressant är att undersöka anledningarna till att perioder av ljumhet i förhållandet börjar dyka upp. Ett exempel från mitten av 1800-talet kan illustrera detta. I sin berömda disputationsföreläsning år 1854 diskuterar den tyske matematikern Bernhard Riemann vad det innebar att utföra mätningar i ett rum av godtycklig dimension – tidigare försök hade bara diskuterat två och i viss mån tre dimensioner – och han skapar härigenom ett helt nytt matematiskt område, differentialgeometrin.

Efter Riemann ger sig matematikerna in på att utveckla grundvalarna för denna nya gren av vetenskapen. Det är just i sina grundvalar som matematiken som mest skiljer sig från fysiken, och det är därför inte så besynnerligt att differentialgeometrin i sin inledningsfas inte tycktes ha något värde för fysiken. De tu återfinner dock varandra i Albert Einsteins allmänna relativitetsteori sextio år senare. Det visar sig nämligen att differentialgeometrin ger Einstein precis de verktyg som han behöver för sin teori. Sedan dess är differentialgeometrin en gemensam angelägenhet för matematik och fysik.

Behovet av att utveckla grundvalarna för ett matematiskt område är ett återkommande tema i matematikens historia. Det kan gälla både nya och gamla delar av ämnet. Den tyske matematikern David Hilbert, en av matematikens giganter kring sekelskiftet 1900, revolutionerade flera matematiska områden genom att visa hur effektiva mer abstrakta metoder kan vara för att lösa problem som mindre abstrakta metoder inte klarar av. Ökad abstraktion inom matematiken kan å andra sidan få fysiken att tycka att konversationen vid frukostbordet börjar bli olidlig och börja tänka på en ny period av särboskap.

Att detta inte alltid är rättvist illustreras av kvantmekanikens historia. Under en tid dominerades kvantmekaniken av försöken att förstå de olika sätt att behandla kvantmekaniska beräkningar som användes av österrikaren Erwin Schrödinger och tysken Werner Heisenberg – båda för övrigt fysiker. I efterhand stod det klart att det till stor del rörde sig om en skendiskussion, men denna insikt baseras – åtminstone ur en matematikers synvinkel – på begreppen representationsteori och Hilbertrum, två idéer med ursprung i Hilberts mer abstrakta synsätt.

Problemen i relationen mellan matematik och fysik ska inte skyllas på en av parterna. I grunden är det ett kommunikationsproblem där bägge parter har sina brister. Fysiken har en tendens att bara lyssna på saker som intresserar den för ögonblicket och tappa uppmärksamheten när samtalsämnet inte längre verkar intressant. Matematiken å andra sidan lyssnar gärna på vad fysiken har att säga men har en tendens att tolka det sagda på sitt eget sätt. Jag är säker på att det har funnits tillfällen i varje fysikers liv som fångas av Goethes ord: ”Matematiker är ett slags fransmän: Talar man med dem, så översätter de det till sitt eget språk och då betyder det genast något annat.”

Det finns dock tillfällen när relationen har varit sämre än så. Ett underbart exempel på detta har jag hört den ungersk-amerikanske matematikern Raoul Bott berätta. I mitten av 1950-talet tillbringade han och fysikern Chen Ning Yang en lördag tillsammans med att måla staketet till det dagis där deras barn gick.

Bott sysslade på den tiden med teorin för så kallade karakteristiska klasser, och Yang arbetade med den teori för elementarpartiklar som i dag går under namnet Yang-Mills teori. I mångt och mycket kan 1950-talet ses som lågvattenmärket i relationen mellan fysik och matematik, och det föll varken Bott eller Yang in att diskutera vad de forskade om just då. Det var synd, för tjugo år senare upptäckte matematiker och fysiker tillsammans att teorin för karakteristiska klasser och Yang-Mills teori i stort sett är samma område.

Denna koppling var helt oväntad, för de två områdena har mycket olika bakgrund. Teorin för karakteristiska klasser går tillbaka till det tidiga 1800-talet och tysken Carl Friedrich Gauss arbeten inom tvådimensionell differentialgeometri. Under årens lopp har teorin utvecklats på grund av matematisk ”nyfikenhet” och inte genom påverkan från fysiken. Yang-Mills teori har å sin sida sitt ursprung i försöken att hitta en teori som förklarar resultaten av vissa fysikaliska experiment. Att två så till synes olika vägar leder till samma resultat kan inte beskrivas som annat än mirakulöst.

Hur ska då parets nuvarande relation beskrivas? Situationen kan faktiskt bäst karakteriseras som en nyförälskelse. Matematiken har återvänt från sin självpåtagna isolering beväpnad till tänderna med nya verktyg, och fysiken har gett sig in på områden där det finns behov av nya matematiska redskap.

Det kanske mest spektakulära exemplet på dessa nya kontakter är strängteorin. Det finns olika åsikter om hur relevant strängteori är för fysiken, men för matematiken har den varit en gudagåva. Den representerar också något nytt i relationen mellan matematik och fysik såtillvida att den har gjort matematiska förutsägelser som ur matematikernas synvinkel tycks ha sitt ursprung nästan i magi.

Förutsägelserna gjordes inom ett område kallat enumerativ geometri, som sysslar med att räkna antalet geometriska objekt med vissa egenskaper. Ett enkelt exempel är att räkna antalet räta linjer som går genom två punkter (svaret är förstås att det finns en sådan linje). Det finns en rad sådana problem som börjar med frågan om hur många linjer som går genom två punkter, sedan hur många andragradskurvor som går genom fem punkter (svaret är återigen en), sedan hur många tredjegradskurvor med vissa egenskaper som går genom åtta punkter (svaret är denna gång tolv), och därefter vidare till högre gradtal.

Matematiker hade gått igenom ytterligare några gradtal utöver ett, två och tre men sedan gett upp eftersom svaren inte verkade vara speciellt intressanta. Det kom därför som en chock när strängteoretiker omkring år 1990 kom med en förutsägelse om alla dessa tal. Det ingick dessutom i dessa förutsägelser att talen passade samman på ett helt nytt och intressant sätt. Fastän matematikerna, när de nu fått svaren i förväg, relativt snabbt kunde visa att förutsägelserna var korrekta, så försöker de fortfarande hämta sig från den ursprungliga chocken och arbetar intensivt med att från matematisk utgångspunkt försöka förstå hur fysikerna så överraskande kunde komma fram till dessa förutsägelser.