Ett matematiskt genombrott som ingen kan bevisa

Den 30 augusti 2012 lade matematikprofessorn i Kyoto, Shinichi Mochizuki, upp en fjärde artikel på sin hemsida. Därmed blev hans livsprojekt fullbordat – i fyra artiklar på sammanlagt 512 sidor presenterar han en helt ny matematisk teori som löser ett centralt problem i talteorin, den så kallade abc-förmodan. Håller teorin för granskning kan den innebära en revolution inom matematiken. Därför har den inter-universella Teichmüller-teorin, som författaren kallar den, blivit hett omdiskuterad bland världens matematiker. Än så länge är det ingen som begriper den. Mochizukis arbete beskrivs som kommet från framtiden eller från yttre rymden – som om en utomjording hade landat på vår planet med ett meddelande på ett främmande språk.

– Jag kan inte ens säga något preliminärt om teorin, för jag begriper den inte, säger Minhyong Kim, professor vid Oxford university i Storbritannien och Pohang university i Sydkorea.

Om någon, så borde just Minhyong Kim kunna uttala sig närmare om teorin. Han har känt Mochizuki sedan ett par decennier, och arbetar inom samma område i matematiken, så kallad anabelsk geometri. Det är en rätt nyutvecklad gren av den aritmetiska geometrin, och det är bara några få i världen som i dag begriper sig på den. Mochizuki är en av de främsta inom området, och i början på 1990-talet, då han bara var drygt 20 år gammal, bidrog han med avgörande arbeten. Sedan dess har han utvecklat sitt teoribygge, de senaste 15 åren nästan helt utan kontakt med omvärlden.

– Jag hoppas han får rätt, säger Minhyong Kim. Men det är för tidigt att säga vilka följder som den nya teorin kan få för hela matematiken. Å andra sidan handlar det om helt grundläggande matematik, sådant som barn behärskar redan på mellanstadiet, som plus och gånger. Går det att säga något helt nytt om detta så blir det omvälvande för hela vårt fält.

Abc-förmodan formulerades relativt nyligen, i mitten av 1980-talet, av två matematiker – britten David Masser och fransmannen Joseph Oesterlé. Till sin grund har den världens enklaste ekvation för heltal, som att räkna ut vad 2 + 3 blir. Med symboler kan den skrivas: a + b = c, och därifrån kommer namnet: abc-förmodan.

Men det är lite mer komplicerat än så. För det handlar om primtal – tal som är delbara bara med 1 och sig själva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 och så vidare.

Förmodan hävdar, grovt sett, att de tre talen – a, b och c – inte samtidigt kan innehålla för många identiska primtalsdelare.

– Det är ändå märkligt att vi fortfarande vet så lite om heltalen, säger Ulf Persson, matematikprofessor vid Chalmers tekniska högskola i Göteborg.

– Vi kan dela upp två tal i var sina primtalsfaktorer, och multiplicerar vi de två talen med varandra är det lätt att få fram primtalsfaktorer av resultatet. Men om vi i stället lägger ihop de två talen, så vet vi väldigt lite om primtalsfaktorer av summan. Resultatet verkar mer eller mindre slumpartat. Om abc-förmodan kan bevisas skulle det betyda att vi har lite koll på det hela.

Att hitta ett mönster, ett samband, vilket som helst, som styr primtalen, har varit många matematikers dröm ända sedan de gamla grekerna. Så även om abc-förmodan kan verka esoterisk, har den långtgående konsekvenser för matematiken.

I all sin enkelhet leder den till att många andra matematiska problem inom talteorin kan lösas. Till exempel kan många av de hittills ouppklarade så kallade diofantiska ekvationerna få sin lösning. Namnet diofantiska härstammar från den grekiske matematikern Diofantos från Alexandria, som var verksam under mitten av 200-talet, och studerade heltaliga lösningar till ekvationer.

– I matematiken kan vi fortfarande läsa många gamla skrifter med behållning, ett bibliotek är alltjämt viktigt för oss, säger Ulf Persson. Medan vetenskapliga artiklar inom många andra forskningsfält snabbt blir överflödiga.

Talteorin är inte bara en fråga om abstrakt matematik, påpekar Dorian Goldfeld, professor vid Columbia university i New York. Den har också funnit sina tillämpningar i datavärlden, där sekretessen i våra mejl och internettransaktioner bygger på talteorin och det faktum att alla positiva heltal kan skrivas som produkter av primtal. En populär krypteringsmetod bygger på att hitta stora primtalsfaktorer av ännu större heltal, något som kräver långa räknetider på kraftfulla datorer.

Till de mest berömda diofantiska ekvationerna hör Fermats stora sats från 1637, som handlar om ekvationen aⁿ + bⁿ = cⁿ. För n = 2 får man a² + b² = c², alltså den välbekanta Pythagoras sats om sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. Men för n större än 2 finns inte några positiva heltalslösningar.

Det är den stora satsen som fransmannen Pierre de Fermat gjorde en anteckning om i marginalen på sitt exemplar av just sin kopia av Diofantos bok Arithmetica. Där påstod han sig ha löst problemet, men inte haft plats i marginalen för att skriva ner sin lösning.

Trots höga prissummor till den som lyckades, tog det ytterligare 350 år, och ett flertal nya matematiska grenar som utvecklades under den tiden, innan Andrew Wiles från Storbritannien knäckte beviset för den stora satsen i september 1994. Då hade han mer eller mindre i hemlighet hängivit sig åt Fermats sats i åtta år.

Han sägs ha bestämt sig för att lösa den redan som tioåring, då han på väg hem från skolan i det lokala biblioteket i Cambridge råkade hitta en bok om Fermat och hans sats och blev förbluffad över att till och med han kunde förstå innebörden.

Fermat själv bevisade sin sats för n = 4. Hundra år senare, i mitten av 1700-talet, visade den schweiziska universalforskaren Leonard Euler att det inte finns någon lösning för n = 3. I början av 1800-talet kom en lösning för n = 5.

– Under hela 1800-talet försökte många bevisa den stora satsen. Det blev drivkraften bakom utvecklingen av nya metoder inom talteorin, säger Juliusz Brzezinski, professor i matematik vid Göteborgs universitet. Och mot slutet av seklet var satsen bevisad för alla n mindre än 100, med bara fyra undantag för 37, 59, 67 och 74. Medan det allmänna beviset höll sig fortsatt ouppnåeligt.

Fermats stora sats handlar om en typisk diofantisk ekvation, menar Dorian Goldfeld i New York. Den är solklar, enkel att formulera och helt galet svår att lösa.

Det största hindret med diofantiska ekvationer har hittills varit att varje problem måste besvaras för sig, från fall till fall. Det har inte funnits någon teori som binder dem samman. Därför har abc-förmodan fått en så viktig roll. Den inbegriper en mängd andra ekvationer i talteorin, både de redan lösta satserna och förmodanden som fortfarande väntar på att lösas. Blir abc-förmodan löst följer de andra med.

– Jämfört med Fermats stora sats, som egentligen inte är så central för oss, ligger abc-förmodan i hjärtat på talteorin, säger Ulf Persson. Till exempel, tänk att något orakel skulle kommit till oss med en lösning på Fermats stora sats – det hade varit väldigt spännande, men inte påverkat matematiken något nämnvärt.

Abc-förmodan däremot kan lösa många centrala problem som talteorin kämpat med sedan länge, inklusive Fermats sats. Den kommer ut som en direkt konsekvens av abc-förmodan. Är abc-förmodan löst, ryms lösningen av Fermats stora sats på bara en halv sida.

– På det sättet påminner den om ett annat mycket berömt och ännu inte löst problem inom talteorin, den så kallade Riemannhypotesen från 1859. Den har också att göra med primtal, och handlar om hur de fördelas bland alla heltal. Å ena sidan verkar primtalen komma helt slumpmässigt. Å den andra – uppenbarligen helt deterministiskt. Ingen vet. Det finns till och med ett pris på en miljon dollar till den som kommer på lösningen av Riemannhypotesen. Fast om man vill tjäna en miljon dollar, så är nog det här ett av de det svåraste sätten att göra det på, även för mycket framstående matematiker, säger Ulf Persson.

Abc-förmodan må inte vara lika känd som Fermats stora sats, men den anses kunna framkalla en dominoeffekt som ingen ännu förmår överblicka. Om beviset nu stämmer.

Svårigheten är att ta sig igenom Shinichi Mochizukis bevis. Än så länge är han ensam om sin teori. För att lösa detta till synes enkla problem har han byggt upp nya matematiska världar.

– Han har skapat ett helt nytt språk, ett helt nytt universum befolkat av matematiska objekt som vi inte känner igen. Det har han gjort bara för att kunna säga något om de tal och geometriska figurer som vi redan känner till, säger Minhyong Kim.

Frågan är nu hur det ska gå till att granska Mochizukis arbete. Den vedertagna processen med kollegial granskning, den så kallade peer review, är satt ur spel när bara en person i världen talar det språk som teorin är skriven på. Andra stora matematiska upptäckter som har väckt stor uppmärksamhet under den senaste tiden – Andrew Wiles bevis för Fermats stora sats 1994, och Grigorij Perelmans lösning på Poincarés förmodan 2002 – var också extremt komplicerade och krävde en stor arbetsinsats från andra matematiker. Men artiklarna kunde ändå nagelfaras av några som kände igen sig i landskapet. Så är det inte nu.

Mochizukis omfattande teori befinner sig helt utanför det matematiska världsalltet. Att ge sig in i den världen kräver en investering av stor möda och mycket tid, kanske flera år, samtidigt som risken finns att satsningen inte betalas tillbaka, att hela bygget är bristfälligt.

Å andra sidan – om det skulle visa sig att teorin är invändningsfri, så har det varit värt allt besvär. För då öppnas portar till nya okända världar att utforska.

Ett misstag har faktiskt redan uppdagats. Den unge forskarstudenten Vesselin Dimitrov vid Yale university påpekade för Mochizuki ett fel i hans tredje och fjärde artikel, något som Mochizuki blixtsnabbt besvarade. Det är ett mindre misstag som ska rättas till i en ny version som kommer i januari, skrev han på sin webbsida.

Klarar inte andra att ta sig igenom den okända terrängen kommer bevisbördan att ligga på Mochizuki. Han har redan författat en kortare presentation av teorin och ska i slutet av mars i år presentera sina tankegångar på en konferens i Kyoto. En sällsynt händelse för Mochizuki som väldigt sällan deltar i forskarmöten. Det har gått tolv år sedan han var med på en konferens utanför Japan, och han har avböjt intervjuer sedan artiklarna kom ut i augusti förra året.

– Han reser inte mycket, säger Minhyong Kim, som hör till de närmaste vännerna. Men han är inte heller särskilt asocial. Han ogillar publicitet, bara.

Minhyong Kim träffade Shin, som Mochizuki kallas, 1985. Det var då Mochizuki anlände till Princeton university, 16 år gammal. Sex år senare hade han redan disputerat, och flyttat till Kyoto university där han blev professor – bara 33 år gammal. Mycket ung och mycket begåvad. Är han ett geni?

– Shin är oerhört duktig, säger Minhyong Kim. Men han är också den hårdast arbetande person jag någonsin har träffat. Han ger inte upp förrän han har förstått problemet till fullo. Men ett geni, nej, det är ett alltför simpelt begrepp för att fånga all den mångfald och komplexitet som krävs för att vara kreativ i matematiken.

Mochizuki har uppenbart satsat all sin kreativa kraft på matematiken, och presenterar inte sig själv som en matematiker, utan som en inter-universell geometer.

– Grunden till Mochizukis arbete kommer från en annan berömd matematiker, Alexander Grothendieck i Frankrike, säger Ulf Persson. Under 1960-talet revolutionerade Grothendieck matematiken genom att påbörja en grandios syntes av geometri och talteori. Hans abstrakta begreppsapparat och ett helt nytt matematiskt språk var dock svåra att tillägna sig för en äldre generation matematiker.

Grothendieck är fortfarande en matematisk legend, ännu mer sedan han omkring 1970, vid 40 års ålder, hoppade av från alla sina offentliga uppdrag. Det sägs att han som pacifist och miljövän var upprörd över världens tillstånd. Han avböjde även att ta emot det svenska Crafoordpriset 1988, och drog sig så småningom tillbaka till en hemlig ort i Pyrenéerna.

– Mochizuki introducerades i det grothendieckska landskapet av sin lärare, tysken Gerd Faltings, säger Ulf Persson. Faltings står bakom en annan matematisk milstolpe, ett bevis på den så kallade Mordells förmodan, där lösningar till diofantiska ekvationer knyts till geometriska objekt i Grothendiecks anda. Mochizuki visade sig vara en baddare på att tekniskt tillägna sig det omfattande maskineriet, vilket gör att folk tar honom på fullaste allvar.

När Mochizuki gav sig in i turerna kring abc-förmodan på 1990-talet var den knappt tio år gammal, så han fick hitta egna stigar in i denna talhärva.

– Det intressanta i matematiken är inte själva resultatet, säger Ulf Persson. Det intressanta är vägen fram till beviset, hur man kom på det. Många gånger har det hänt att bevisen varit ihåliga, felaktiga. Ändå kan de leda till nya tankebanor, medan det med andra blir tvärstopp.

Att Mochizukis närmast obegripliga livsverk tas på allvar och inte bara ignoreras av det matematiska etablissemanget beror alltså på att han anses exceptionellt begåvad. Sedan unga år har han gjort sig känd som en självständig och uppfinningsrik forskare som kommit med flera häpnadsväckande resultat. Beroende på hur man räknar, har han slitit med sin teori i två decennier nu, och hela teorin omfattar cirka tusen sidor. Ingen har i princip haft insyn i detta arbete under de senaste 15 åren.

– Det finns så klart en fara i att isolera sig så fullständigt i sin egen värld. Det är lätt hänt att man tappar kontakten med verkligheten och inte kan inse varför andra har svårt att förstå. Men vad som för många matematiker är lockande med Mochizukis teori är dess inre skönhet och elegans. Om den nu håller för granskning.