Annons

Mängdläran gick ner för räkning

Ap-roligt. Hej Matematik APA gavs ut i uppdaterad form år 1971.

Bild: 
Liber läromedel

Matterevolutionen som kom av sig

Böckerna hade namn som Apa, Kamel, Abborre och Kastanj. De var fulla av färgglada bilder med frukter som skulle ringas in och pilar som skulle ritas på tallinjer. Mängdläran skakade om 1970-talets skola – men blev ett monumentalt fiasko. Här är historien om lärans uppgång och fall.

Annons

Publicerad:

2012-03-31

Stridsropen skalla – mängdlära åt alla! Från slutet av 1950-talet till början av 1970-talet spred sig mängdläran som en löpeld genom västvärlden och blev grunden för skolmatten redan från lågstadiet i land efter land.

Startskottet knallade den 4 oktober 1957. Då sköt Sovjet upp den första satelliten, Sputnik, och tog ledningen i rymdkapplöpningen. Amerikanerna som tagits på sängen tvingades inse att ryssarna var överlägsna i naturvetenskap och matematik. Motdraget blev att vässa utbildningen. En särskild lag 1958 gav pengar till matematisk och naturvetenskaplig forskning som kunde hjälpa USA:s försvar och rymdindustri.

– Sputnikkrisen drog inte i gång mängdläran. Det var pengarna som kom. Plötsligt hängde en satellit över de amerikanska storstäderna, kanske med kärnvapen ombord. Då blev det en jäkla fart, och många som hade idéer fick möjlighet att lansera dem, säger professor Bengt Johansson, chef för Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM, vid Göteborgs universitet.

En sådan idé var den nya matematiken, new math, som hade formats i USA i början av 1950-talet med mängdlära som en viktig byggsten. Matematiker vid Stanford university och University of Illinois drev linjen att studenterna skulle ges förståelse snarare än att drillas med tabeller och lära sig svar utantill. De skulle via mängdlära få insikter i matematikens grunder och begrepp.

Tanken hämtades från en grupp franska matematiker, bourbakisterna, som ville ställa matematikundervisningen vid landets universitet på en solid teoretisk grund. Det var den tanken som fick vingar när Sputnik sköts upp.

Omdaningen av västvärldens matematikutbildning tog fart i och med en konferens på slottet Royaumont utanför Paris i november 1959. Där möttes amerikanska och europeiska forskare för att diskutera vilka krav som skulle ställas på framtidens utbildning i matematik. En av de tongivande deltagarna var bourbakisten Jean Dieudonné, som lanserade den nya matematikens stridsrop:

– Ner med Euklides!

Det vill säga: den euklidiska geometrin, som hade legat till grund för matematikundervisningen sedan antikens dagar, var inte längre giltig. Modern matematik skulle byggas upp med logiska begrepp utifrån en rad abstrakta axiom.

– Två svenskar var med i Royaumont, Lennart Sandgren och professor Otto Frostman. Sandgren höll sig mycket i bakgrunden, men hade en ledande roll när den nya matematiken infördes. Han skrev läroböcker för universitetens grundutbildning i matematik och blev senare statssekreterare hos utbildningsminister Olof Palme, säger Bengt Johansson.

Just Sputnikåret 1957 hade den svenska regeringen tillsatt en skolberedning med uppdrag att staka ut riktlinjerna för den nioåriga enhetsskola som beslutats 1950. Samtidigt anammades den nya matematiken av Nordiska kommittén för modernisering av matematikundervisningen, bildad efter Royaumont. Kommitténs rapport 1967 blev den murbräcka som banade väg för mängdläran i Norden (se rutan på sidan XX).

Detta år presenterades även en internationell jämförelse av matematikkunskaperna i 13 länder. Svenska högstadieelever kom näst sist. Politikerna fick skrämselhicka, och 1968 lade Olof Palme fram en proposition om att införa den nya matematiken i grundskolan.

Grundskolan infördes 1962, och mängdläran dök upp i och med dess andra läroplan, Lgr-69. Den nämns inte i själva läroplanen, utan först i ämnessupplementet för matematik. Som stöd fanns också Skolöverstyrelsens skrift Matematikterminologi i skolan, med som första punkt: ”En mängd kan beskrivas som en sammanfattning av objekt vilka då kallas mängdens element.” Sedan följde begrepp som tomma mängden, delmängd, union, snitt och disjunkta mängder.

Skolöverstyrelsen poängterade att förteckningen inte skulle uppfattas som normgivande för matematikkursens omfattning: ”Att ett begrepp finns upptaget i förteckningen innebär ej att det behöver ingå i skolkursen.”

Men mängdläran blev basen för den nya skolmatematiken. Den drevs, liksom den svenska grundskolan, igenom med motiveringen att utbildningsväsendet var föråldrat och oförmöget att ge eleverna de kunskaper som fordrades i en mer tekniskt avancerad, automatiserad och föränderlig värld.

Hösten 1970 fick svenska elever på sina bänkar något vars like ingen tidigare hade skådat: Hej matematik. En rikligt färglagd bok med muntra apor i lianer på omslaget. Sedan följde sida upp och sida ner med illustrationer i samma anda som figurerna i tv-programmet Fem myror är fler än fyra elefanter – glada och goa i bjärta färger. Det var äpplen, päron och bananer. Man skulle göra en ring runt frukter av samma slag. Djur skulle paras ihop med rätt bostad: hund–hundkoja, fisk–akvarium, fågel–bur och så vidare.

Inget 1 + 1 = 2. Nej, inte ett räknetal så långt ögat nådde! Först efter halva häftet smögs siffrorna in, en efter en – fast i lite omkastad ordning: 1, 4, 2, 5, 3. Sedan kom räkneoperatorerna plus och minus, därefter operatorerna =, < och >.

– Det var ett helt nytt sätt att se på matematiken. Man ville prägla eleverna med en annan begreppsförståelse. De skulle kunna matematiken från grunden, säger Stefan Alsnäs, som var med och tog fram sista upplagan av Hej matematik och även uppföljaren Alfa.

– Man trodde att matematiken skulle bli lättare med ett klart och konsekvent språk. Via mängdläran skulle eleverna få ett mer logiskt tänkande, säger Sven-Erik Gode, som arbetade på Skolöverstyrelsen när mängdläran fasades ut i slutet av 1970-talet.

En bärande tanke var att eleverna själva skulle välja häften och uppgifter efter sin nivå, följa sin egen bana genom materialet. Det fanns även ett omfattande bredvidmaterial av trästavar som representerade talen ett, tio respektive hundra. Det fanns bingobrickor, kort- och tärningsspel och overhead-presentationer.

Dessutom fick man skriva i böckerna, dessa var förbrukningsvara som skulle behållas. Hej matematik översattes till flera språk, bland annat grönländska. Läromedlet blev inte bara Hermods kassako, som räddade förlaget från bankrutt sedan korrespondenskursernas glans falnat – det gjorde också författarna stormrika. Maken till lärobokssuccé har sällan skådats, varken förr eller senare.

För att förankra nymodigheterna gjordes en massiv utbildningsinsats. Böcker som Nya matematiken för föräldrar togs fram. I det kolossala Deltaprojektet – ett samarbete mellan Skolöverstyrelsen, Sveriges Radio och Hermods som gav ut Hej matematik – fortbildades landets alla låg- och mellanstadielärare samt alla ämneslärare på högstadiet, inalles 45 000 personer.

Men många hade ändå svårt att förstå. Allt det nya var fjärran från folk- och realskolans matte med addition, subtraktion och multiplikation i prydliga tabeller att lära sig utantill. De praktiskt inriktade räknetalen var sällsynta, av typen ”Om en burk kaffe kostar 75 öre och Olle köper sex stycken, hur mycket får han då tillbaka på fem kronor?” I stället blandades tal från olika tabeller fritt. Divisionens välbekanta stol ersattes med en omvänd trappa.

I högre årskurser slopades kägelsnitt och andra illustrativa härledningar av funktioner. Begreppen skulle i stället begripas utifrån ett antal obevisbara grundsatser, axiom. Räkning med andra baser än tio infördes, en förberedelse för hexadecimal programmering av datorer.

Men kruxet var att de teoretiska begreppen infördes redan i årskurs ett. ”Symbolspråket kan ibland ersätta tunga och oöverskådliga verbala formuleringar”, heter det i Lgr-69. Även de små ettagluttarna fick alltså bekanta sig med termer som mängd, delmängd och element. De drillades i att säga ”sant” och ”falskt” om utsagor. En avancerad terminologi smögs tidigt in i de till synes enkla övningarna att ringa in päron (se bilden på sidan 47).

Hej matematiks uppdelning i ett otal häften var också något helt nytt – serien bestod av över 100 böcker från årskurs ett till nio! Det var fem grundhäften per årskurs, tre fördjupningshäften, lärarhandledningar, facitböcker och provräkningar. På högstadiet fanns olika böcker för särskild och allmän kurs, och efter kritikstormen kom särskilda häften för lågpresterande elever.

Framför allt var det högstadielärare och föräldrar som gick i taket, trots utbildningen. Den nya matematiken och sättet den presenterades på i Hej matematik skilde sig radikalt från den matte de var vana vid. Och kursplanen var mycket diger. Mängdläran var visserligen bara ett moment, men dess teoretiska grund gick eleverna långt över huvudet.

Redan innan Lgr-69 införts protesterade läroboksförfattaren Sven Lindström skarpt i sin bok Överteoretisering av den elementära matematikutbildningen: ”Genom en kort åskådlig demonstration avser man att visa innebörden av abstrakta matematiska begrepp såsom mängd, tom mängd, element osv. Talen används i abstrakt form enligt matematiska lagar, t ex kommutativa lagen. Syftet är alltså att redan på nybörjarstadiet ge matematiken samma teorietiska karaktär som på universitetsstadiet.”

Han påpekade att det bara är ett fåtal elever med ”högt utvecklad abstraktionsförmåga” som klarar att ta till sig detta, medan övriga lämnas därhän. Lindström hänvisade till en lektor vid tekniskt gymnasium, som ansåg att mängdlära, boolesk algebra och den matematiska logiken enbart är av intresse för den som studerar datorkretsar. Men bara ett litet fåtal elever blir forskare, poängterade Lindström.

Ganska snart kom även anklagelser om att den nya matematiken införts närmast kuppartat av en snäv krets inom framför allt Skolöverstyrelsen som smugit in den bakvägen via supplement och föreskrifter.

På de anklagades bänk satt mängdlärans grå eminens, Lennart Sandgren, tillsammans med bland andra författarna till Hej matematik, Matts Håstad, Curt Öreberg och Leif Svensson, de tre senare med ett förflutet på Skolöverstyrelsen. Matts Håstad var sekreterare för Nordiska kommittén för modern matematik innan han blev medlem i den läroplansgrupp som spikade matematikens utformning i Lgr-69. Alla tre var djupt involverade i förarbetena till den nya skolmatten innan de kastade loss för att skriva Hej matematik.

Matts Håstad ser dock inga konspirationer bakom att den nya matematiken infördes så snabbt.

– Den förankrade sig själv; alla trodde på den i varierande grad. Lärarna ville ha den. De var missnöjda med den gamla matten med stereotypa tillämpningsuppgifter, säger han.

– Det var många underbetyg i matematik, väldigt stor utkuggning och elever som fick göra om läsår. Man hoppade på nästan vad som helst, som mängdhistorierna, utan att ha funderat igenom det ordentligt. Det blev en stor uppslutning kring de nya läromedlen – även om man snart upptäckte att mängdläran inte fungerade och böckerna gjordes om.

Johan Prytz på Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier vid Uppsala universitet, tror att 1970-talets nya skolmatte blev så radikal och drevs igenom så snabbt för att relativt få personer hade makt över skolmatematiken. Så var det i och för sig även tidigare, men nu fanns en viktig skillnad:

– Mina studier tyder på att det före 1950 framför allt var läroboksförfattarna som hade kontroll över innehållet, bland annat eftersom kursplanerna var så kortfattade. De hade då stor frihet att välja innehåll och inriktning. Men läroboksförfattarna var beroende av lärarna. När en lärare valde en lärobok, så var det också ett slags erkännande av författarens förmåga. Det kan ha bromsat mer radikala försök till förändring. Denna struktur förändrades med de detaljerade läroplaner som framför allt kom på 1960-talet. En kursplansförfattare står inte i den typen av beroendeförhållande till lärarna, säger Johan Prytz, som nyligen påbörjat ett fyraårigt forskningsprojekt om skolmattens 1900-talshistoria.

Den nya matematikens saga blev kort. I mitten av 1970-talet började USA överge mängdläran, och därefter följde de andra länderna efter. Olof Palme, som arbetat för mängdlärans införande, bytte snabbt fot. Redan under valrörelsen 1974 sade han i en tv-intervju att elevernas fortsatt dåliga mattekunskaper berodde på – mängdläran. Då hade den redan rensats ut ur läroböckerna, och i slutet av årtiondet var den nya matematiken död.

In kom krav på baskunskaper, som de fyra räknesätten. En ny internationell studie 1980 visade att mängdläran inte hade lyckats lyfta de svenska högstadieeleverna från bottenplaceringen. Däremot ledde inriktningen på basfärdigheter till att de åter klättrade i rankning med toppar 1995 och 2000. Men sedan vände det utför igen.

– Det är framför allt bristen på lärarledd undervisning som setts som förklaringen till nedgången, en individualisering av utbildningen, säger Johan Prytz.

Matts Håstad håller med:

– Allt färre timmar användes till matematikundervisning – det tror jag minskade inlärningen. Tyst räkning blev dominerande; ungarna satt tysta och räknade sida upp och sida ner. Det tror jag var en nackdel.

Han beklagar att den nya matematikens eftermäle kommit att präglas av mängdlärans fiasko. Den bestod av så mycket mer, framhåller Matts Håstad:

– Skolmatematiken sattes in i ett sammanhang. Den nyanserades och fick relevans i samhället. Man lärde ut överslagsräkning, försökte förklara hur matematiken fungerade och den anpassades till nya tidens förutsättningar med miniräknare.

När utbildningsminister Jan Björklund i höstas presenterade matematiklyftet för grundskolan var receptet i stället fler matematiktimmar på schemat, mer katederundervisning och fler behöriga lärare.

Matts Håstad är skeptisk till talet om att gå tillbaka till det gamla tragglandet av tabeller, men välkomnar mer tid och mer lärarledd undervisning.

– Man säger hela tiden att det har varit dåligt, men nu ska det bli bättre med nya metoder. Hittills har det inte blivit det. Det är en besvikelse. Men att lärarna ska spela större roll tror jag är det viktigaste man kan göra.

Vad minns du av mängdläran?

Stefan Johansson Växjö

Vi ritade ringar runt bananer och så skulle man tala om hur många det var. Det var ganska lätt och kul, jag hade lätt för mig. Det var roliga bilder, roliga uppgifter. Det var mängder och plus mellan. Jag blev inte avskräckt, har jobbat som ingenjör.

Ann-Sofie Hörlin Falsterbo

Jag minns en filttavla med element på, så hette det. Det var äpplen. Men vad var det? Vi skrattar åt det i dag, som Staffan Westerberg. Det var ganska lätt matte. Jag utbildade mig till civilingenjör, jobbar nu som miljöchef.

Daniel Olsson Göteborg

Vi satte olika storheter i förhållande till varandra, att 1 var mindre än 10. Det var stavar, linjaler, decilitermått, pipetter. Det var inte svårt. Nu när jag själv har barn och pratar med dem om matte så har jag tänkt en del på det. Jag jobbar som ekonom.

Helena Olsson Jönköping

Jag har nästan för

trängt det. Vi ritade ringar runt olika saker, jämförde större och mindre mängder. Det var lite långtråkigt, meningslöst, alldeles för lätt. Det var inte så stimulerande. Jag är handläggare på Jordbruksverket.

Svante Larsson Västerås

Man ringade in äpplen och så. Vi hade boken Sol, minns jag. Det var inte svårt, jag hade redan lärt mig räkna. Mängdläran var en bas för matematiken. Jag är naturvetare och jobbar som miljöinspektör.

Mats Blomqvist Stenhamra

Det var något vi utsattes för i skolan, Hej matematik! Böckerna hette Ångbåt, Flotte och sådant. Man ritade ringar runt blå och röda frimärken. Det var inte svårt, tvärtom. Vi satt och spelade luffarschack hela tiden när vi var klara med uppgifterna. Jag vet inte om jag lärde mig något. När jag kom till gymnasiet fick jag läsa in hela grundskolematten.

”Ner med euklides”

Ur Jean Dieudonnés anförande vid Royaumont-seminariet 1959:

En del inslag av kalkyl, vektor-algebra och lite analytisk geometri har nyligen införts på högstadiet. Men sådana ämnen har alltid behandlats styvmoderligt medan intresset, som alltid, riktats in på ”ren geometri utlärt mer eller mindre enligt Euklides, med lite algebra och nummerteori”. Jag tror att ett sådant lapptäckes dagar är räknade, och vi är nu beslutna att införa en mycket grundligare reform – om vi inte vill att läget ska försämras till den grad att det blir ett allvarligt hinder för fortsatta vetenskapliga framsteg. Och om hela det program jag har i åtanke ska summeras i ett slagord blir det: ”Ner med Euklides!”

Programförklaring

Teoretisk grund för införandet av mängdläran. Ur rapporten 1967 av Nordiska kommittén för modernisering av matematikutbildningen. Notera hur högskolematte blir grundskolematte med ett penndrag:

Mer entydigt och av stort principiellt intresse är den förskjutning i uppfattningen om matematikundervisningens mål som kan sägas vara den bärande idén i nästan alla moderniseringssträvanden. Denna förskjutning innebär en väsentligt starkare betoning av insikt och förståelse i jämförelse med mekanisk färdighet. Vid försöken att realisera denna målsättning har man allmänt använt sig av sådana grundläggande begrepp från mängdlära och logik, som fastän de är elementära, tidigare ansetts höra till de mer avancerade matematikstudierna.

Bourbakisterna vässade mängdläran

Mängdteori, i skolmatematiken kallad mängdlära, är en gren av matematiken som på 1870-talet skapades av den tyske matematikern Georg Cantor (1845–1918). Han ville jämföra storleken på oändliga mängder och bevisade bland annat att det finns fler reella tal än heltal. Mängdteorin har sedan förädlats av andra och blivit en av matematikens grundpelare, ett slags ”universalspråk” med vilket man kan definiera begrepp inom olika grenar av matematiken.

Bourbakisterna är en fransk sammanslutning av matematiker som bildades 1934 med målet att reformera den föråldrade och auktoritetsstyrda matematiska universitetsutbildningen i Frankrike. Namnet kommer av den pseudonym, Nicolas Bourbaki, under vilken kollektivet publicerade sina verk – en serie böcker om olika grenar av matematiken.

Bourbakisterna ville ställa matematiken på en gemensam solid logisk grund. Mängdteorin blev utgångspunkten, men det dröjde ända till 1954 innan detta inledande avsnitt var färdigt. På vägen löste gruppen en rad problem med mängdteorin och införde symboler och begrepp som i dag är hävdvunna.

Bourbakisterna har kritiserats för att vara ”skoningslöst abstrakta”, och just böckerna om mängdteori har fått särskilt mycket kritik. De axiomsystem som bourbakisterna valde att utgå ifrån används inte som grund för dagens mängdteori.

Forskning & Framsteg berättar om fackgranskade forskningsresultat och om pågående forskning. Våra texter ska vara balanserade och trovärdiga, och sätta forskningsresultaten i sitt sammanhang för att göra dem begripliga. Forskning & Framsteg har rapporterat om vetenskap sedan 1966.

2

Kommentarer

Från en som var med om den sjuka baksidan av experimentet.
Årskurs 1 - 6 läste vi vanlig matte. Då hängde vi med, även de som inte var jätteskarpa.
Från årskurs 7 var det mängdlära som gällde. Jodå, det funkade det också.
Men det riktigt sjuka i hela experimentet var att vi fick börja med Hej Matematik för årskurs 1! Föra att sedan snabbt som attan läsa hela kursplanen så att vi kom ikapp.
Vi fick helt enkelt börja om, i årskurs 7. Vi var försökskaniner.

Vi läste mängdlära! Kanon måste jag säga. Matten blev roliga! Vad då lära sig något? Nej, nej ...