Gåtan med pi och den omöjliga kvadraten

I engelskan används ”to square the circle” i betydelsen att försöka göra det omöjliga. Ursprunget till uttrycket är ett av de berömda problemen från antikens geometri, nämligen hur man enbart med hjälp av passare och ograderad linjal kan rita en kvadrat med samma area som en given cirkelskiva. Det kallas för problemet med cirkelns kvadratur. Precis i slutet av Dante Alighieris Divina Commedia beklagar sig pilgrimen Dante över att likt geometern som kämpar för att lösa denna gåta om hur kvadraten passar ihop med cirkeln, klarar han själv inte att se hur avbilden, människan, relaterar till cirkeln, det gudomliga.

Matematiskt sett har problemet att göra med talet pi: π = 3.1415… och med dess natur som reellt tal.

De reella talen är alla tal som ligger på den kontinuerliga tallinjen. Några av de reella talen kan uttryckas exakt som ett bråk av två heltal. De kallas för rationella tal. Men de flesta reella tal är irrationella, tal med en oändlig räcka decimaler som inte kan skrivas som bråk utan bara approximeras. π är ett sådant. Flera antika kulturer har använt olika ungefärliga värden på π, till exempel 22/7 — om man inte helt enkelt har nöjt sig med att π är ungefär 3, som i Bibelns beskrivning av cirkelns form i Salomos tempel.

Men π är inte bara irrationellt utan har också en ännu mer speciell egenskap, som vi ska få se. I början av 1800-talet utforskade fransmannen Pierre Wantzel flera av de antika geometriproblemen och visade att några av dem är omöjliga att lösa på det klassiska viset med passare och linjal. Han visade också att en kvadrering av cirkeln bara är möjlig om π kan beräknas som en lösning till en viss typ av ekvation, nämligen så kallade polynomekvationer.

En polynomekvation består av termer med en okänd variabel x och olika potenser av x, multiplicerade med heltal. Ett exempel kan se ut så här:

15x⁵ – 181x³ + 2x – 5 = 0

Svaret på frågan om det går att kvadrera cirkeln ligger alltså i att antingen hitta en ekvation av den här sorten som har lösningen x = π, eller att bevisa att det inte finns någon sådan ekvation. Tal som aldrig är lösningar till ekvationer av denna typ kallas transcendenta tal. Matematiker misstänkte att π är transcendent. Men hur skulle de bevisa det?

Den första ledtråden kom från en annan fransk matematiker, Charles Hermite. Han kom med ett bevis som gav det första konkreta exemplet på ett transcendent tal: talet e — en annan viktig matematisk konstant som är ungefär 2,71828…

Genom att bygga på resultatet från Hermite lyckades den tyske matematikern Ferdinand von Lindemann 1882 att logiskt och rigoröst bekräfta att π är ett transcendent tal. Den geometriska gåtan var således efter nära två tusen år äntligen grundligt besvarad — det är omöjligt att “kvadrera cirkeln”. Därmed håller Dantes jämförelse.

Här kunde historien vara slut, men matematiken bjuder på mer än så. Gåtan om π och cirkelns kvadratur är nämligen besläktad med många andra frågor om de reella talen.

Det senaste större framsteget är från 2019, då de två unga matematikerna James Maynard och Dimitris Koukoulopoulos löste ett 80-årigt problem kallat Duffin-Schaeffers förmodan. Problemet handlar om hur väl man kan approximera reella tal med bråk av hela tal, som i exemplet med talet π.

En innovativ aspekt av det komplicerade beviset var att det använde sig av teorin om nätverk, också kallad grafteori. Att grafteori har blivit högaktuell matematisk forskning, till exempel inom AI och maskininlärning, eller modeller för spridning av virus, bränder och desinformation inom sociala medier, kanske inte förvånar en läsare av Forskning & Framsteg (se F&F 11/2019). Nu blev den också till hjälp för att förstå en del av de reella talens mysterium. Matematikens natur är sådan att metoder och idéer rör sig fritt mellan olika ämnesområden, inga gränser finns, bara vi människor tenderar att bestämma begränsningar och vilja ruta in saker och ting – kanske en del av vår egen fyrkantiga natur.