Har människan uppfunnit matematiken?

Svar av Torbjörn Tambour, matematiker, Stockholms universitet

Det här är en flertusenårig fråga som fortfarande diskuteras och debatteras bland matematiker. Något svar som det råder enighet om finns alltså inte. Det finns argument både för att matematiken finns oberoende av oss och för att den hänger ihop med medvetandet. Platon menade att de matematiska objekten finns oberoende av oss i formvärlden (idévärlden). Den är skild från den fysiska världen, men vi kan komma i kontakt med formvärlden genom tänkandet. Ingen har sett en cirkel – alla cirklar vi har sett är ofullkomliga. Trots det har vi en föreställning om cirkeln, vilket är möjligt eftersom cirkelns form existerar i formvärlden. I Menon skildrar Platon hur Sokrates med välvalda frågor får en pojke att bevisa ett fall av Pythagoras sats. Platon ansåg att pojken erinrade sig saker han redan visste genom att själen, innan den hamnade i kroppen, var i direkt kontakt med formvärlden.

Platons elev Aristoteles ansåg att de matematiska objekten finns, men inte i en formvärld, utan i fysiska föremål – som att cirkeln finns i runda ting.

Platon och Aristoteles var realister vad gäller matematiska objekts existens. Den motsatta hållningen, att matematiken inte existerar oberoende av oss eller utanför vårt medvetande, kallas icke-realism. Den kan vara mer eller mindre långt- gående. En icke-realistisk teori är att matematikens objekt finns, men inte i Platons och Aristoteles mening, utan som mentala konstruktioner. Den icke-realistiska teori som kallas nominalism går ett steg längre och hävdar att matematiken enbart är språkliga konstruktioner utan objektiv existens.

I realisternas perspektiv är matematikern en forskare som gör upptäckter, medan icke-realisterna snarare ser matematikern som en uppfinnare.

Båda perspektiven kan kritiseras. Å ena sidan: Var finns Platons formvärld och hur äger kontakten mellan den och medvetandet rum? Och varför skulle vi, som Aristoteles menar, komma fram till föreställningen om cirkeln genom att iaktta ofullkomliga cirklar?

Å andra sidan: Vad är en ”mental konstruktion” i icke-realisternas mening och vad skiljer matematiken från andra konstruktioner? Tyngdlagen och lagen om tillgång och efterfrågan kan också hävdas vara konstruktioner, men tycks inte vara lika nödvändiga som 8+13=21. Det tycks inte gå att tvivla på matematiska utsagor på samma sätt som det går att tvivla på andra lagar. Det finns invändningar mot invändningarna och sista ordet om matematikens natur är inte sagt. Själv blir jag mer förvirrad och osäker ju mer jag läser och tänker.